三角恒等变换习题详解
一、选择题
1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π
4)，x ∈R ，则函数f (x )
是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2的偶函数
[答案] A
[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π
2＝π.
2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3
2
，则cos2α＝( ) A ．－1
4
B ．－1
2
C.12
D.3
2
[答案] B
[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛
⎭
⎫222
＝cos 2α＋12＝34，
∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1
2.
3．已知tan α
2＝3，则cos α＝( )
A.45
B ．－45
C.4
15
D ．－35
[答案] B
[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α
2＝cos 2α2－sin 2
α2cos 2α2＋sin 2
α
2
＝1－tan 2
α
21＋tan 2
α2
＝1－91＋9＝－4
5
，故选B.
4．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝1
3，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )
A ．±
17
3
B ．－
173
C.13
D.
173
[答案] D
[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－8
9<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝17
9
且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝
17
3
，故选D. 5．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y
D ．x ＞y
[答案] D
[解析] ∵π>A ＋B ＞π
2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选
D.
6．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )
A ．向左平移π
2个单位长度
B ．向左平移π
4个单位长度
C ．向右平移π
2个单位长度
D ．向右平移π
4个单位长度
[答案] D
[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，
将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π
4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭
⎫π
2－2x ＝－cos2x ，故选D. 7．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( )
A ．－2cos α
2
B ．2cos α
2
C ．－2sin α
2
D ．2sin α
2
[答案] C
[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π
4.
∴1＋sin α＋1－sin α
＝1＋2sin α2cos α
2＋
1－2sin α2cos α
2
＝
(sin α2＋cos α2
)2＋
(sin α2－cos α2
)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α
2)
＝－2sin α
2.
二、填空题
8．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝3
5，则cos2θ＝________. [答案] －725
[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－7
25
.
9．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1
[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为
(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.
10. (理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.
[答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)
2cos24°
sin12°cos12°
＝
23sin (12°－60°)
1
2
sin48°＝－4 3.
三、解答题
11．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π
3
)的值；
(2)求f (x )的最大值和最小值．
[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－9
4.
(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－7
3
，x ∈R
因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝2
3时，f (x )取最小值
－73
. 12.(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭
⎫22cos2x ＋22sin2x
＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π
4
，
∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π
2时，f (x )有最小值
－1.
13．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－1
4，且C 为锐角，求sin A 的
值．
[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－3
2sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋3
2，最小正周期为π.
(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，
因为C 为锐角，所以C ＝π3
，
在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝22
3，
所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋3
6
.。