12015年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2015.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列根式中，与24是同类根式的是（ ） （A ）2；（B ）3；（C ）5； （D ）6．2．如果关于x 的一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）（A ）4<k ； （B ）4>k ；（C ）0<k ；（D ）0>k ．3．已知一次函数y =kx ﹣1，若y 随x 的增大而增大，则它的图像经过（ ） （A ）第一、二、三象限；（B ）第一、三、四象限； （C ）第一、二、四象限；（D ）第二、三、四象限．4．一组数据：-1，1，3，4，a ，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（ ） （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．5．已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）（A ）AD =BC ； （B ）AC =BD ； （C ）∠A =∠C ； （D ）∠A =∠B ． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB =c ，∠A =α，则CD 长为（ ） （A ）α2sin ⋅c ；（B ）α2cos ⋅c ；ACBD2（C ）ααtan sin ⋅⋅c ； （D ）ααcos sin ⋅⋅c ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：1-2=________．8．分解因式：224b a -=______________________． 9．已知1)(-=x xx f ，那么)3(f =___________． 10．已知正比例函数的图像经过点（-1，3），那么这个函数的解析式为________． 11．不等式组⎩⎨⎧><+6251x x 的解集是___________．12．用换元法解方程221201x x x x -++=-时，可设21x y x-=，则原方程可化为关于y 的整式方程为 .13．任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是_______．14．将抛物线221y x =-向上平移4个单位后，所得抛物线的解析式是___________. 15．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，如果a AB =，b AD =，那么=AC ．（用a 、b 表示）16．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB 为直角，若AB ＝8，BC ＝10，则EF 的长为 ．17．如图，当小明沿坡度3:1=i 的坡面由A 到B 行走了100米，那么小明行走的水平距离=AC 米．（结果可以用根号表示） 18．如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =6cm ，BD 平分∠ABC ，BD 交AC 于点D .如果将BA EFCD （第16题图）ABD（第18题图）ABC （第17题图）3△ABD 沿BD 翻折，点A 落在点A ′处，那么△D A ′C 的面积为_______________cm 2. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 计算：323112---÷-+x x x x ）（20．（本题满分10分） 解方程组：⎩⎨⎧=--=+0548322y xy x y x21.（本题满分10分）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？422．（本题满分10分，每小题各5分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =24，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，联结MB ．（1）若BE =8，求⊙O 的半径； （2）若∠DMB=∠D ，求线段OE 的长．23.（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，过C 点作AE 的垂线交于点F ，联结DF ，过点D 作DF 的垂线交AF 于点G ，联结BG . （1）求证：△ADG ≌△CDF ；（2）如果E 为CD 的中点，求证：BG ⊥AF .A（第23题图）EGDFB（第22题图）524．（本题满分12分，每小题各4分）如图，二次函数bx x y +-=2的图像与x 轴的正半轴交于点A （4，0），过A 点的直线与y 轴的正半轴交于点B ，与二次函数的图像交于另一点C ，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ．设二次函数图像的顶点为D ，其对称轴与直线AB 及x 轴分别交于点E 和点F ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果CE =3BC ，求点B 的坐标；（3）如果△DHE 是以DH 为底边的等腰三角形，求点E 的坐标．（第24题图）x625．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，AB =4，AD=3，552sin =∠BCD ，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD =∠BDC ；（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长；（3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP =CE ，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．ABCHPD （第25题图1）ABCHPD EF（第25题图2）72015年松江区初中毕业生学业模拟考试数学参考答案及评分标准2015.4一、选择题1、D ；2、A ；3、B ；4、C ；5、C ；6、D ． 二、填空题7、21； 8、()()b a b a 22-+； 9、23； 10、x y 3-=； 11、43<<x ；12、0122=++y y ； 13、32； 14、322+=x y ； 15、a b -2； 16、1； 17、1030； 18、1112． 三、解答题19．解: 原式=()()31232-+-÷--x x x x x ………………………………………………………6分 =()()12332+--⨯--x x x x x …………………………………………………………2分 =11+x ……………………………………………………………………………2分 20．解：由②得0,05=+=-y x y x …………………………………………………………4分原方程组化为⎩⎨⎧=-=+0583y x y x ，⎩⎨⎧=+=+083y x y x …………………………………………2分解得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==44152211y x y x …………………………………………………………4分 21．解：（1）设一月份每辆电动车的售价是x 元．…………………………………………1分 根据题意得：()()12200100-80%101100=-+x x …………………………………………5分 解得2100=x …………………………………………………………………………………2分 答：一月份每辆电动车的售价是2100元．……………………………………………………2分22.解：（1）设⊙O 的半径为r ，则OD =OB =r8∵BE =8，∴OE =r -8………………………………………………………………………………1分 ∵OB ⊥CD ,OB 是半径，∴ED =CD 21…………………………………………………………1分 ∵CD =24，∴ED =12 ……………………………………………………………………………1分 在Rt △OED 中，222OD ED OE =+∴222128r r =+-）（ …………………………………………………………………………1分解得13=r ………………………………………………………………………………………1分 ∴⊙O 的半径为13．（2）∵OM =OB ，∴∠OMB =∠B ……………………………………………………………1分 ∵∠DOE =∠OMB +∠B ，∴∠DOE =2∠OMB ………………………………………………1分 ∵∠DMB=∠D ，∴∠DOE =2∠D ，∵∠DOE +∠D =90°，∴∠D =30°………………………1分 在Rt △OED 中，EDOED =∠tan ………………………………………………………………1分错误!未找到引用源。

∵ED =12，∠D =30°∴OE =34………………………………………………………………………………………1分 23.证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =DC ，∠ADC =90°…………………………………………………………………………2分∵GD ⊥DF ，∴∠GDF =90°∴∠ADG =∠CDF ………………………………………………………………………………1分∵CF ⊥AF ，∴∠AFC =90°，∴∠CFD =90°+∠DFG …………………………………………1分 ∵∠AGD =∠GDF +∠DFG =90°+∠DFG ∴∠AGD =∠CFD ………………………………………………………………………………1分 ∴△ADG ≌△CDF ………………………………………………………………………………1分 （2）∵∠ADE =∠EFC ，∠DEA =∠FEC ，∴△ADE ∽△CFE ，∴FCEFAD DE =……………1分 ∵E 为CD 的中点，∴21=DC DE ，∴21=AD DE ，∴21=FC EF ∵△ADG ≌△CDF ，∴FC =AG ，∴21=AG EF ，∵21=AB EC ，∴ABECAG EF =……………1分 ∵AB ∥EC ，∴∠FEC=∠GAB …………………………………………………………………1分∴△EFC ∽△AGB ………………………………………………………………………………1分∴∠EFC =∠AGB =90° …………………………………………………………………………1分 ∴BG ⊥AF ………………………………………………………………………………………1分24.解：（1）∵抛物线bx x y +-=2经过点A （4，0)9∴b 416-0+=…………………………………………………………………………………1分 ∴4=b …………………………………………………………………………………………1分 ∴ 4x 2+-=x y ………………………………………………………………………………1分 ∴抛物线的解析式为x x y 42+-=……………………………………………………………1分（2）∵422+--=）（x y ，顶点D 的坐标是（2，4）……………………………………1分 由抛物线的对称性可得OF =AF =2∵BO ∥CH ∥EF ，∴OF OHBE BC =∵CE =3BC ，∴41=BE BC ，∴OH =21…………………………………………………………1分∴CH =y =47∵AO AH OB CH =，∴421447-=OB ………………………………………………………………1分 ∴OB =2，∴B （0，2） …………………………………………………………………………1分 （3）设点C 的坐标为（x ，-x 2+4x ），∵AH AF CH EF =，∴xx x EF -=+424-2 ∴EF =2x …………………………………………………………………………………………1分∵EH =DE ，∴x x x 242222-=+-）（）（…………………………………………………1分∴3461+-=x ，3462--=x （舍）…………………………………………………1分∴38122+-==x EF ，∴），（38122+-E …………………………………………1分25.解：（1）过点D 作DG ⊥BC ，垂足为G∵在Rt △ABD 中，∠ABC =90º，AB =4，AD=3，∴BD=5……………………………………1分 在Rt △DCG 中，∠DGC =90º，552sin =∠BCD =DC DG…………………………………1分 ∵AD ∥BC ，∴AB =DG =4，AD =BG =3，∴DC=52，∴CG=2∴BC=3+2=5……………………………………………………………………………………1分 ∴BD=BC ，∴∠BCD =∠BDC …………………………………………………………………1分 （2）设DP=x ，则R P =PB=5-x ………………………………………………………………1分10∵∠BCD =∠BDC ，∴552sin sin =∠=∠BDC BCD ……………………………………1分 在Rt △PDH 中，∠PHD =90º，552sin =∠BDC =x PHPD PH = ∴PH =x 552，∴DH =x 55，∴R H =HD=x 55……………………………………………1分 ∵⊙P 与⊙H 外切，∴PH R R H P =+ ………………………………………………………1分 ∴x x x 552555=+-，∴45525-=x …………………………………………………1分 即45525-=DP （3）过点P 作PM ∥BC 交DC 于点M ，∴∠DMP =∠DCB∵∠BDC =∠DCB ，∴∠DMP =∠BDC ，∴PD =PM ，∵PH ⊥CD ，∴DH =HM ……………1分 ∵PM ∥BC ，∴CEPMFC MF =，∵DP =CE ，∴PM =CE ，∴MF =CF ∴521==DC HF ，∴x HF DH CD CF 555-=--=…………………………1分 ∵AD ∥CE ，∴∠ADH=∠FCE …………………………………………………………………1分 （ⅰ）若CFDHCE AD =，则△ADH ∽△ECF ∴xxx 555553-=,解得2693+-=x （负值已舍）……………………………………1分（ⅱ）若CEDHCF AD =，则△ADH ∽△FCE ∴xxx 555553=-，解得10-=x （舍）………………………………………………1分。