圆锥曲线归纳总结——for Yuri第22sin cos θθ+部分：知识储备1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d =③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质(1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅< 距离式方程：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径椭圆：22b a ；双曲线：22b a；抛物线：2p(4) 圆锥曲线的定义黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ∆=SP 在双曲线上时，122cot 2F PF b θ∆=S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===⋅）(6) 记住焦半径公式：①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x +，焦点在y 轴上时0||2p y + 3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333第0sin xdx π⎰部分：三道核心例题例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=，1OF =。

（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线ll ，使点F 恰为的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。

分析：第一问比较容易，第二问关键是垂心（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？）的处理。

由待定系数法建立方程求解。

解（1）建立坐标系，设椭圆方程为,由1OF =得又∵即 ，∴易得1b =，故椭圆方程为 （2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，设，∵，故， 于是设直线为，由得，∵ 又 得 即由韦达定理得解得或（舍） 经检验符合条件。

例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点(2,1)M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程；PQM ∆22221(0)x y a b a b+=>>1c =1=⋅FB AF 22()()1a c a c a c +⋅-==-22a =2212x y +=l Q P ,F PQM ∆1122(,),(,)P x y Q x y (0,1),(1,0)M F 1=PQ k l y x m =+2222y x mx y =+⎧⎨+=⎩2234220x mx m ++-=12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+-(1,2)i i y x m i =+=1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-=212122()(1)0x x x x m m m ++-+-=222242(1)033m mm m m -⋅--+-=43m =-1m =43m =-（2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

分析：小黄同学，直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，怎么处理？关键是把它转化成021=+k k 。

解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m又12OM K =m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m 且解得（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

例3．已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？），利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。

第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程。

解：（1）设B(1x ,1y )，C(2x ,2y )，BC 中点为(00,y x )，焦点为F(2,0)，则有11620,1162022222121=+=+y x y x 两式作差有016))((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x ，整理得04500=+ky x （其中k 为点弦BC 的斜率） (1) 又F(2,0)为三角形重心，所以由2321=+x x ，得30=x由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得56=k ，从而得到 直线BC 的方程为02856=--y x（2）由AB ⊥AC 得 016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,22=++=y x b kx y 代入，得080510)54(222=-+++b bkx x k又由韦达定理有 2215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 与直线方程结合，易得 2222122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+代入（2）式得 0541632922=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94-=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494-=-⨯+xy x y ，即016329922=--+y x y所以所求点D 的轨迹方程是)4()920()916(222≠=-+y y x 。

77777777777777777777777777777777777777777777777777777优雅的分割线777777777777777777777777777777777777777777777777777第0lim1x j x x e π→-+部分：七种常见题型 1、中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为11(,)x y 、22(,)x y ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况），消去参数。

例如：设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-归纳：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为00(,)M x y ，则有02020=+k by a x 。

（2）双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为00(,)M x y ，则有0220=-k b y a x 。

（3）抛物线22(0)y px p =>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为00(,)M x y ，则有022y k p =，即0y k p =。

典型例题 给定双曲线x y 2221-=，过(2,1)A 的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

2、焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设(,)P x y 为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

3、直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。