1 / 92018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数中是无理数的是 （A ）cos60°； （B ）1.3g； （C ）半径为1cm 的圆周长； （D2．下列运算正确的是（A ）2m m m ⋅=； （B ）236()m m =； （C ）33()mn mn =； （D ）623m m m ÷=．3．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（A ）0x y +>；（B ）0x y ->；（C ）0x y +<；（D ）0x y -<．4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示.其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是 （A ）15和0.125； （B ）15和0.25；（C ）30和0.125；（D ）30和0.25．5．下列图形是中心对称图形的是（A（B ） （C （D ）6． 如图2，半径为1的圆O 1与半径为3的圆O 2相内切，如果半径为2的圆与圆O 1和圆O 2都相切，那么这样的圆的个数是 （A ）1； （B ）2；（C ）3； （D ）4.二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】频率（图1） （图2）2 / 97．计算：()()a a b b a b +-+= ▲ . 8．当0,0a b <>= ▲ . 9．函数11y x=+-x 的取值范围是 ▲ .10．如果反比例函数k y x=的图像经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么12y y 的值等于 ▲ .11．三人中有两人性别相同的概率是 ▲ . 12．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：那么跳绳次数的中位数是 ▲ .13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是 ▲ . 14．四边形ABCD 中，向量AB BC CD ++=u u r u u r u u r▲. 15．若正n 边形的内角为140︒，则边数n 为 ▲ .16．如图3，△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，联结DC .如果AD =2，BD =6，那么△ADC 的周长为 ▲ .17．如图4，正△ABC 的边长为2，点A 、B 的圆上，点C 在圆内，将正△ABC绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值是 ▲ . 18．当关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x 的一元二次方程x 2+(m -2)x -2m=0是“倍根方程”，那么m 的值为▲ .三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：11123213222-+++--÷--x x x x x x x ，12+=x ． 20．（本题满分10分）（图4）（图3）ABCD3 / 9解方程组：22223;2().x y x y x y ⎧-=⎪⎨-=+⎪⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知：如图5，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°． 求：（1）求∠CDB 的度数；（2）当AD ＝2时，求对角线BD 的长和梯形ABCD 的面积．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）已知A 、B 、C 三地在同一条路上，A 地在B 地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A 、B 两地向正北方向的目的地C 匀速直行，他们分别和A 地的距离s （千米）与所用的时间t （小时）的函数关系如图6所示． （1）图中的线段l 1是 ▲ （填“甲”或“乙”图像，C 地在B 地的正北方向 ▲ 千米处； （2）谁先到达C 地？并求出甲乙两人到达C 地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到 者晚1小时到达C 地，求他提速后的速度.23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点M 、N ，且∠AGE =∠CGN. （1）求证：四边形ENFM 为平行四边形； （2）当四边形ENFM 为矩形时，求证：BE=BN .24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）t （小时）（图6）（图5） （图7）A CD GE FM4 / 9如图8，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点. （1）求抛物线的表达式； （2）如图（1），当CP //AO 时，求∠P AC 的正切值；（3）当以AP 、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分）如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC =5，AD =1，BC =9，点P 为边BC 上一动点，作PH ⊥DC ，垂足H 在边DC 上，以点P 为圆心PH 为半径画圆，交射线PB 于点E . （1） 当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；（2） 分别联结EH 和EA ，当△ABE ∽△CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P相交，试求圆B 的半径r 的取值范围；（3） 将劣弧»EH沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值.AB C DPHECABDP HEACDP HEBF （图9）x（图8）PA BCxy（备用图）O ABCPy （图（1））O5 / 92018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． C ； 2． B ； 3． A ； 4． D ； 5． B ； 6． C 五、 填空题（本大题共12题，每题47．22a b -； 8． -； 9． 2x ≥-且1x ≠；10．32； 11． 1； 12． 20； 13． 80250(15)2900x x +-=； 14． AD u u r；15． 9；16． 14； 17； 18． -1或-4. 六、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解:原式=11)1)(3()1()1)(1(32-++-+⋅-+-x x x x x x x ………………………………………（6分）=1111-+-x x =12-x …………………………………………………（2分） 当12+=x 时， 原式=222= ………………………………（2分） 20．（本题满分10分）解：由（2）得，0=+y x ，2=-y x ；…………………………………………（3分）则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ） …………………（2分）解（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩… （2分）解（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩ … （2分） ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩341,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………（1分） 21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）解：(1) ∵在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，∴∠CBA =∠A =60º. （1分）∵BD 平分∠ABC ，∴∠CDB =∠ABD =21∠CBA=30º，………………………（2分）（2）在△ACD 中，∵∠ADB =180º–∠A –∠ABD=90º．………………………………（1分）∴BD=AD tan ⋅A =2tan60º=23. .…………………………………………………（1分） 过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ， …………………………………………………（1分） ∴AH =AD sin ⋅A =2sin60º=3. .…………………………………………………（1分）∵∠CDB =∠CBD =21∠CBD =30º，∴DC =BC =AD =2. ………………………………（1分）6 / 9∵AB =2AD =4, …………………………………………………………………………（1分）∴11()(422ABCD S AB CD DH =+⋅=+梯形……………………………（1分）22． （本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）解：（1）乙；3. ……………………………………………………………………………（2分） （2）甲先到达. ……………………………………………………………………………（1分） 设甲的函数解析式为s =kt ，则有4=t ，即s =4t . 当s =6时，t =32.……………………………………………………………………………（1分） 设乙的函数解析式为s =nt +3，则有4=n +3，即n =1.所以乙的函数解析式为s =t +3.当s =6时，t =3. ……………………………………………………………………………（1分） 所以到达目的地的时间差为32小时. ………………………………………………………（1分）（3）设提速后的速度为v 千米/小时，因为相遇处距离A 地4千米，所以相遇后行2千米. ……………………………………（1分） 又因为原相遇后行2小时，所以提速后2千米应行1.5小时. …………………………（1分） 即322v =，所以43v =.…………………………………………………………………（1分）答：速度慢的人提速后的速度为43千米/小时. ……………………………………………（1分）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB //CD . ………………………………（1分）∴∠EAG =∠FCG . …………………………………………………………（1分） ∵点G 为对角线AC 的中点，∴AG =GC .∵∠AGE =∠FGC ，∴△EAG ≌△FCG . ……………………………………（1分） ∴EG =FG . ………………………………………………………………………（1分） 同理MG =NG . …………………………………………………………………（1分） ∴四边形ENFM 为平行四边形. ………………………………………………（1分）（2）证明：∵四边形ENFM 为矩形， ∴EF =MN ，且EG =12EF ,GN =12MN . ∴EG =NG . ……………（1分） ∴∠1=∠2.∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AGE +∠CGN +∠3=180°，∠AGE =∠CGN ， ∴2∠1=2∠AGE ，即∠1=∠AGE .∴EN //AC . …………………………………（1分）∵EG =NG ，又∵AG =CG ，∠AGE =∠CGN.∴△EAG ≌△NCG . ………………………（1分） AB C DG E F M N1 237 / 9∴∠BAC =∠ACB ，AE =CN . …………（1分） ∴AB =BC . …………………………………（1分） ∴BE=BN . …………………………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）∵直线y =x +4经过点A 、C ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上 ∴A 点坐标是（﹣4，0），点C 坐标是（0，4），…………………………………………（1分）又∵抛物线过A ，C 两点，∴21(4)40,24.b c c -⨯--+==⎧⎪⎨⎪⎩.………………………………（1分）解得14b c =-⎧⎨=⎩.∴抛物线的表达式为2142y x x =--+.…………………………………（2分）（2）作PH ⊥AC 于H ， ∵2142y x x =--+对称轴为直线1x =-， 又∵点C 、P 在抛物线上，CP //AO ， C （0，4），∴P （-2,4）. ∴PC =2. ………………（1分） ∵AC PH PC CO ⋅=⋅，∴PH（1分） ∵A （﹣4，0），C （0，4），∴∠CAO =45°. ∵CP //AO , ∴∠ACP =∠CAO =45°. ………………………………………………………（1分） ∵PH ⊥AC , ∴CH =PH∴AH ==.∴1tan 3PHPAC AH ∠==.…………………………………………………………………（1分）（3）∵2142y x x =--+对称轴为直线1x =-，∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，∴PQ ∥AO ，且PQ =AO =4．………………………………………………………………（1分） ∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x =﹣1对称， ………………………………（1分） ∴P 点的横坐标是﹣3， …………………………………………………………………（1分）∵当x =﹣3时，215(3)(3)422y =-⋅---+=，∴P 点的坐标是5(3,)2-.……………………………………………………………………（1分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分） 解：（1）作AM ⊥BC 于M ，联结AP ， 由题意可求得AM =3，BM =4，tan B = tan C =34.……………………………………………（1分）8 / 9∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k .∵BC =9，∴MP =5-5k . ∴22229(55)AP AM MP k =+=+-. ∵圆P 过点A ，且圆P 的半径= PH =3k ，∴AP =PH .∴229(55)9k k +-=，即21650340k k -+=.…………………………………………（1分）解得12171,8k k ==. 当2178k =时，CP =1705916k =>,∴2178k =舍，∴1k =.……………………………（1分）∴圆P 的半径长为3. …………………………………………………………………（1分）（2）∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k . ∵点E 在圆P 上，∴PE=3k ，CE=8k. ∴BE=9-8k ∵△ABE ∽△CEH ，∠B =∠C ，∴AB CH BE CE =或AB CEBE CH=.……………………………（2分）即54988k k k =-或58984k k k =-. 解得18k =-（舍）或1316k =.…………………（1分） ∴3916PH =.即圆P 的半径为3916. …………………………………………………（1分）∵圆B 与圆P 相交，又BE=9-8k=52，∴55928r <<. ………………………………（2分）（3）在圆P 上取点F 关于EH 对称的点G ，联结EG ，作PQ ⊥EG 于G ，HN ⊥BC 于N ，则EG =EF ，∠1=∠3. ∴∠GEP =2∠1∵PE =PH ，∴∠1=∠2. ∴∠4=2∠1. ∴∠GEP =∠4.∴△EPQ ≌△PHN . ∴EQ =PN. ………………………………………………………………（1分）∵P 为圆心，PQ ⊥EG ，∴EQ =QG ，∴EF =EG =2EQ . ∵PH =3k ，HC =4k ，tan C =34， ∴416455k NC k =⋅=，312455k NH k =⋅=. ∴169555k PN k k =-=.∴18225EF EG EQ PN k ====.………………………………………………………（1分）EH ====.……（1分）9 / 9∴5185EH EF k == .………………………………………………………………（1分） 即线段EH 和EF 的比值为定值.。