小结： 当被开方数是数字时，要把被开方数中开得
尽方 的数移到根号外面来。
试一试 化简
⑴ (? 49 ) ? (? 121) = 49 ? 121= 49 ? 121 =7×11=77
⑵ 255 = 15 2 =15
⑶ 18 = 32 ? 2 = 32 ? 2 = 3 2
⑷ 27 ? 15 = 3? 32 ? 3? 5 = 32 ? 32 ? 5 = 32 ? 32 ? 5
利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简 与计算。 例1 化简
7 5 ⑴ 72 ? 52 = 2 ? 2 =7×5=35
⑵ 16?81 = 16 ? 81 =4×9=36
⑶ 292 ? 212 = (29? 21)(29? 21) = 50? 8 = 400 =20
⑷ 2000 = 10 2 ? 2 2 ? 5 = 10 2 ? 22 ? 5 =10? 2? 5 = 20 5
3、 49?64?5 ＝ 56 5 ， 300 ＝ 10 3
4、 (? 16) ? (? 25) ＝ 20 ， 402 ? 242 ＝ 32
x 5、化简 x3 y2 ＝ xy
，
49a3(x?3)2 (X≥3)＝ 7a(x ? 3) a
选择题
6、化简 x4 ? x2（x＞0）正确的是（ D ）
A X2+X B X2+1 C x2 x2 ? 1
⑸试把我们刚才发现的结论 ab = a ? b （a≥ 0,
b≥0）用语言表示出来。
ab = a ? b
(a≥0，b≥0）
积的算术平方根，等于积 中各因式的算术平方根的积。
11.2二次根式的乘法
一、积的算术平方根
制作：刘克欣
问题1：想一想：当 a≥0，b≥0，c≥0时， ab的c值 等于 a ? b ? c 吗？更多个非负数的积
只要ab ? 0即可，因此a、b同号或a、b至少有一
个为零即可）
观察与思考：
请完成下列填空：
⑴ 4 ? 9 = 36 ， 4 ? 9 = 36 ，
36 ? 1 = 2 9
， 36 ? 1 = 9
2
，
⑵根据填空你可以得出什么结论？一般情况下，当
? ? a 0,b 0时，ab 与 a ? b 有什么关系？
的算术平方根呢？
（ abc = a ? b ? c (a≥0,b≥0,c≥0;
几 个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式 的算术平方根。）
问题2：
在性质 ab = a ? b （ a≥0,b≥0）中，若 a=b,
公式可变形为什么形式？你能把它的结果写出来吗？
（当a=b时， ab = a ? a = a 2 ;
D x x2 ? 1
7、下列各式成立的是（ B ）
A (? 3) ? (?5) ＝ ? 3 ? ? 5
B (?3)2?(?5)2 ＝ (?3)2 ? (?5)2
5 3 C 5 2 ? 32 ＝
2?
2
D 52 ? 32 ＝ 5＋3
8、化简 12?18 得：（ C ）
A 36 6 B ? 6 6 C 6 6 D ? 36 6
以是代数式，但都必须是非负数。 2、会利用此性质化简二次根式。★★★
3、公式 a 2＝a(a≥0)★
4、通过综合应用勾股定理等知识，培养 学生的实际应用能力。(能力训练点)
基础演练
填空：
1、若 ab ＝ a ? b 则 a≥0 ， b≥0 ；
a 若 2 ＝a,则 a ≥0
2、等式 x(x ? 3) ＝ x? x? 3 成立的条件是 X≥3
a ? b = a a ? a =( a ) 2 于是有 2 = ( a )2=a）
即 a 2 =a(a≥0） 练一练：（1）利用 a 2 =a(a≥0）计算
22 1.62
4 9
(mn)2 (m＞0,n＞0)
2、 (? 3)2 能利用 a2 = a(a≥0) 计算吗？若能，怎样做 ?
(? 3)2 = 9 =3
⑵ a b2(c?1)2 = a? b2 ? (c?1)2 = b(c ? 1) a
⑶ x3 ? 4 x2 y ? 4x y2 =
=
x( x2 ? 4 xy ? 4 y2)
x ( x? 2 y)2
= x ? (x? 2 y)2
= (x ? 2 y) x
小结：当被开方数是字母或多项式时， 先分解因式，把被开方数中能 开得尽的因式移到根号外面来。
=3? 3? 5 =9 5
例2 化简
⑴
4
a
2
b3=来自22? a 2?b2?b
= 22 ? a2 ? b2 ? b
= 2 ab b
x x y ⑵ x 4 ? y 2 =
(? )
2
2
2
= x2 ? x2 ? y2
=x x2 ? y2
做一做：化简
⑴ a2(b?c)2 = a2? (b?c)2 =a(b+c)
? AB= AC2 ? BC2
B
C
= 10 2 ? 24 2
= 676
= 22 ? 13 2
= 22 ? 132
=2×13=26(cm)
答：AB长26cm.
总结：
1、积的算术平方根的性质： ab ＝ a ? b （a≥0,b≥0)★★★
① a≥0,b≥0 是公式成立的条件 ②公式中的字母a,b既可以是数，也可
小结：当被开方数是数字时，要把被开方 数中开得尽方的数移到根号外面来。
化简二次根式的一般方法，先将被开方 数进行因数分解或因式 分解，然后把能开得尽 方的因数或因式，用它 们算术平方根代替，移 到根号外。
综合应用
例4： 如图在 ABC中，∠C=90o AC=10cm
BC=24cm 求AB？
A
? 解： A B2＝AC2+BC2
请你猜想一下。
4? 9 = 4? 9 ab = a ? b
⑶换两个数试一试， ab 与 a ? b 是否相等？
⑷想一想 ( ? 4 ) ? ( ? 9 ) = (? 4) ? (? 9) 成立吗？ 为什么？ ( ? 4 ) ? ( ? 9 ) 应该等于多少？
不成立。因为 ? 4, ? 9 没有意义，(?4)? (?9) ＝ 4? 9 ＝6
9、计算 3 2 ? 4 2 得： （ B ）
复习
1、我们已经知道 2 、7 、 2? 7 都是二次根 式，那么 ?2 、 ?7 是二次根式吗？ (?2)?(?7) 呢？
（ ?2 、 ?7 不是二次根式， (?2)?(?7) 是二次根式）
2、请你比较 a 、 b 中 a、b的取值与 ab 中 a、
b的取值有什么不同？
（ a 、 b 中的a、b都必须是非负数，而 ab 中，