第十一章 反常积分一、单选题（每题2分）1、广义积分dxx x ⎰∞+-1211=（ ）A 、0B 、2πC 、4πD 、发散2、广义积分dx x x ⎰∞+-+2221=（ ）A 、4lnB 、0C 、4ln 31D 、发散3、广义积分⎰+-20234x x dx=（ ）A 、3ln 1-B 、32ln21 C 、3ln D 、发散4、下列广义积分收敛的是（ ）A 、⎰∞+edx x xln B 、⎰∞+e x x dx ln C 、⎰∞+e x x dx 2)(ln D 、⎰∞+ex x dx21)(ln5、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰∞-0dxe xB 、⎰π2cos x dx C 、⎰-202x dx D 、⎰∞+-0dx e x6、下列积分中（ ）是收敛的A 、⎰∞+∞-xdx sin B 、⎰-222sin ππx dx C 、⎰∞+0dx e x D 、⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰-11sin x dx B 、⎰--1121x dx C 、⎰∞+-02dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx8、⎰=-10121dx e x x（ ）A 、e 1B 、11-eC 、e 1-D 、∞9、已知2sin 0π=⎰∞+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （ ）A 、0B 、4πC 、 2πD 、π10、广义积分=+⎰∞+∞-dx x 211（ ）A 、0B 、2πC 、2π-D 、π11、下列积分中绝对收敛的是（ ）A 、dx x x ⎰∞+12sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin12、已知广义积分dxx ⎰∞+∞-sin ，则下列答案中正确的是（ ）A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞+∞-dx xB 、dxx ⎰∞+∞-sin =()()()[]0cos cos cos =∞--∞+-=∞-∞+-xC 、dx x ⎰∞+∞-sin =()0cos cos lim sin lim =+-=⎰-+∞→+∞→b b xdx bbb bD 、dxx ⎰∞+∞-sin 发散13、设广义积分dxe kb ⎰∞+-0收敛，则k （ ）A 、0≥B 、0>C 、0<D 、0=答案：BCDCB DAABD ADB二、判断题（每题2分）1、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ条件收敛； （ ） 2、当10<<λ时，无穷积分dx x x ⎰∞+1sin λ绝对收敛； （ ）3、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，而函数()x ϕ在[)+∞,a 单调有界，则无穷积分()()⎰∞+adxx x f ϕ收敛； （ ）4、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）5、若()x f 在[)+∞,a 无界，则()⎰∞+a dx x f 发散； （ ）6、若()x f x +∞→lim 不存在，则()⎰∞+adxx f 发散； （ ）7、若()x f 单调， ()⎰∞+a dx x f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）8、若()⎰∞+a dx x f 收敛，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）9、若()⎰∞+adx x f2，()⎰∞+adxx g 2收敛，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛； （ ）10、如果()⎰∞+adxx f 收敛，()x g 在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞+a dx x g x f 收敛；（ ）11、若()⎰∞+adxx f 收敛，()0lim =+∞→x f x ，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）12、如果()⎰∞+adxx f 绝对收敛，()1lim =+∞→x g x ，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（ ）答案：××× ××× ×三、填空题（每题2分）1、若无穷积分()⎰∞+a dx x f 收敛，则()=⎰∞++∞→dx x f pp lim；2、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，则a b >时，无穷积分()⎰∞+bdxx f ；3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x ax λ，若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰ba dx x f ；4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，0>a ，且极限())0(lim +∞≤≤=+→d d x f x ax λ，若+∞<≤>d 0,1λ，则无穷积分()⎰∞+a dx x f ；5、若()⎰∞+adxx f 收敛，则无穷积分()⎰∞+adxx f ；6、当1>λ时，无穷积分dx x x ⎰∞+1cos λ ；7、当1≥p 时，瑕积分⎰10px dx ；8、若()⎰∞+adxx f 收敛，且存在极限()Ax f x =+∞→lim ，则=A ；9、=+⎰∞+12)1(x x dx ；=⎰∞+e x x dx 2ln ；10、设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+at axx dtte x x 1lim ，则常数=a ；11、如果广义积分dxx p ⎰∞++11收敛，则p ；12、如果广义积分dxx p ⎰-11发散，则p ；答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛7、发散 8、0 9、2ln 21；1 10、2 11、2-< 12、2≥四、计算题（每题5分）1、⎰∞+++0284x x dx解：⎰∞+++0284x x dx =)022arctan 21(lim 4)2(lim 02u x x dx u u u +=+++∞→+∞→⎰=8)42(21)422(arctan 21limππππ=-=-++∞→u u 2、dxx x 1sin 122⎰∞+π解：设x t 1=，则dt t dx 21-=，有dx x x 1sin 122⎰∞+π=120cos sin 02==-⎰ππt tdt3、⎰∞+-+222x x dx解：⎰∞+-+222x x dx =221ln 31lim )2111(31lim 2u x x dx x x u u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--+∞→+∞→⎰ =2ln 32)2ln 221ln lim (31=-+-+∞←u u u4、⎰1ln xdx解：⎰1ln xdx =()1)ln 1(lim 1ln lim ln lim 0100-=+--=-=+++→→→⎰εεεεεεεεx x x xdx5、⎰--1121x dx 解：⎰--1121x dx=⎰⎰-→+-→-+-++εεεε10200121lim 1lim x dx x dx=)1arcsin 10(arcsin lim 0εεε-++-+→xx))1arcsin()1arcsin((lim 0εεε-++--=+→=πππ=+226、()⎰--112x x dx 解：因为()C x C t t dtt x xx dx +--=+-=+-=---⎰⎰1arctan 2arctan 2121122所以()⎰--1012x x dx=01)1arctan 2(lim 1)2(lim 010εεεε---=--++→-→⎰x xx dx=2)4arctan lim (20ππεε=--+→7、⎰∞+++04211dx x x解：由 Cx x x x xx d dx x x x dx x x +-=+--=++=++⎰⎰⎰21arctan 212)1()1(111112222342得⎰∞+++04211dxx x =221arctan 21lim 11lim 20420πεεεε=-=++⎰++→+∞→→+∞→u x x dx x x uu u8、())0(ln >⎰∞+a x x dx ap解：1=p 时，+∞===+∞→∞++∞→⎰⎰a u x x x d x x dxu u a au ln ln lim ln ln lim ln1≠p 时，()()a u x p x xd x x dxpu uapu a p-+∞→+∞→∞+-==⎰⎰1)(ln 11limln ln limln=⎪⎩⎪⎨⎧<∞>--11)(ln 111p p a p p故当1>p 时，()⎰∞+apx x dx ln =()pa p --1ln 111≤p 时，()⎰∞+apx x dxln 发散；9、⎰2)ln(sin πdxx解：=I ⎰20)ln(sin πdx x =⎰+→20sin ln lim πεxdx ⎰+→=422sin ln lim 2πεεtdt t x=⎰+++→42)cos ln sin ln 2(ln lim 2πεεdtt t=⎰⎰++⋅4040cos ln 2sin ln 242ln 2πππtdttdt=⎰⎰+=++404022ln 2cos ln 2sin ln 22ln 2ππππIxdx xdx由此求得2ln 2π-=I10、⎰∞+-∈=0)(N n dx e x I x n n解：当0=n 时，⎰∞+-==001dx e I x当1≥n 时，dx x e n ux e dx x e I un x u nxu unxu n ⎰⎰--+∞→-+∞→-+∞→+-==010lim 0)(lim lim=⎰---+∞→=u n n x u nI dx x e n 011lim则 !12)1(0n I n n I n =⋅⋅-=Λ 五、证明题（每题5分）1、证明01ln 02=+⎰∞+dx x x证：令t x 1=，则 ⎰⎰⎰∞-∞+∞++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+00222021ln 1111ln1ln dt t t dt t t t dx x x =⎰∞++-021ln dx x x则有01ln 02=+⎰∞+dx x x2、证明dxx x ⎰∞++01cos 收敛，且11cos 0≤+⎰∞+dx x x证：dx x x ⎰∞++01cos =dxx x x x ⎰∞+++∞++02)1(sin 01sin =dxx x⎰∞++02)1(sin又()22111sin x x x+≤+）（，而dxx ⎰∞++02)1(1收敛，所以dx x x ⎰∞++02)1(sin 收敛⇒dxx x ⎰∞++01cos 收敛而≤+=+⎰⎰∞+∞+02)1(sin 1cos dx x xdx xx1011)1(102=∞++-=+⎰∞+x dx x 3、证明：若()x f 在()+∞∞-,上连续，且()⎰∞+∞-dxx f 收敛，则对任何()+∞∞-∈,x ，有()()⎰∞-=x x f dt t f dx d , ()()⎰∞+-=x x f dt t f dx d ,证：,a ∀由条件()1J dx x f =⎰∞-，()⎰∞+=02J dx x f 都存在；再由()x f 连续可得()()()⎰⎰∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x a x f dt t f J dx d dt t f dx d ,1 ()()()⎰⎰∞+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x ax x f J dt t f dx d dt t f dx d ,24、 设()⎰∞+adxx f 收敛，证明：（1）若极限()x f x +∞→lim 存在，则()0lim =+∞→x f x（2）若()x f 在[)∞+a 上为单调函数，则()0lim =+∞→x f x证：（1）设()Ax f x =+∞→lim 。