负二项分布 泊松分布 (0.13174) 估计值 (0.951,2.555)的估 计值
0 1 2 3 4 5
369246 48644 3204 141 5 --
370460 46411 4045 301 21 1
2.理赔额的分布
各种离散型分布、连续型分布、混合型分布来描 述理赔额的分布，要根据具体的风险和相应的险种应 用统计学的技术来估计损失分布。
基本假设： （1）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相 互独立，即（N与X1， X2，… Xn相互独立） 这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了，例如 恶劣的天气条件会导致大量的小理赔.不过，在实际中 这些现象的影响是很小的。 （2）聚合风险模型中，个体风险可以出现多次，各个 风险是独立同分布的，即 （X1， X2，… Xn）独立同 分布。
∴②正确。
对于选项③： 2 2 E S Var S E S
X Var N E N Var X 2 2 E X E N E 2 X E N 2 E N Var X
E
2
∴③错误。
例6 对复合负二项分布，参数 r=1,P=1/3， 个别索赔服从参数为λ的指数分布，已知 MS（1.0 ）=3,求λ。 A．4.9 B．5.0 C．3.5 D．4.0 E．4.5
n 0
n P X 1 X 2 X n x PN n 0
0 n
n n P * * N N n
n 0
f x p *n x PN n

r
S为复合负二项分布，并且：
rq E (S ) p1 p
rq rq 2 2 Var( S ) p2 2 p1 p p
r
p M S (t ) 1 qM X (t )
例3 假设某个保单理赔次数N服从负二项分布，参数 p=1/3,Var(N)=24,并且理赔额分布为：
S的期望、方差和矩母函数可用上述基本分布的 X i 相应数量来表示。 同时，S的分布函数也可用的N分布和X i的共同分布通 过卷积得到。
6.2理赔次数和理赔额的分布
• 1.理赔次数N的分布
（1）二项分布 （2）泊松分布 （3）负二项分布 （4）泊松分布的一种推广的分布，即假设泊松 分布中的参数λ为随机的，现实的情况是不同 的保单类型或同一保单类型在不同的情况下 发生理赔的次数是不确定的，为一个随机变 量，记作∧，且有密度函数f（x），由全概率 公式有：
n 0
n P n 0 0
n 0
x P N n
例2 假设某个保单组合在单位时间内至多发生3次理 赔，理赔次数和理赔额分布分别为：
1 2 3 0 N , 0.1 0.3 0.4 0.2 X 3 0.5 0.4 0.1 1 2
6.3 理赔总量模型
1.用卷积公式可求S的分布函数。
记 P (x)为独立同分布 X i的共同分布函数假设S的 分布函数和密度函数分别为F(x)和f(x)，则：
F x PS PS x N n P N n x F x PS S nP0x N x N nN N n S n P P F x P x xx PS PS x N n PnN n F x PS
N
解 X ~ e1 E X 1 Var X
Var S E X Var N E N Var X
2
Var N E N E N

2
∴①错误。
当Var（N）=E（N）时；
S E 2 X Var N E N Var X Var E N Var X E 2 X E N P2
上两式表明，总理赔量的期望值为个别理赔期望值 与理赔次数期望值之积。总理赔量的方差由两部分 构成：个别理赔量的变化和理赔次数的变化。
S的矩母函数：
M S t E e
E E e N E M t M ln M t E e
tS tS N X N ln M X t N X
记Pk E ( X k )
（3）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额 之间相互独立，即（N与X1， X2，… Xn相互独立）
2. 复合泊松分布的性质 基本性质：
FS x P S x P S x N n P N n
n 0
P X1 X 2 X n x P N n
（ 即 t log q ）时，有
由 X Exp 1 知 mX t 1 t
1
直接代入计算
由分布函数与矩母函数之间的一一对应关系得到S
的分布函数也具有同样的形式：这是一个混合分布。
这是一个在0点有跳度p 而在其它处为指数型的 分布函数．
例5 设复合分布 S X i ，其中Xi相互 i 1 独立且N与Xi独立，问下面选项哪一项 是正确的？ ①如果个别索赔额f（x）=e-x，x>0，那么 Var（S）=E（N2）； ② 假 设 Var（N）=E（N）， 那 么 Var（S） =P2· E（N）； 2）=E（N）E（X2）+ P 2 E ( N 2 ) ③E（S 1


P X 1 X 2 X n x PN n X X X 2 n x P N P01P X 1 2 XX n x PN n n

n 0
n 0

n 0
∴选D。
6.4复合泊松分布
一、定义：
随机变量S为参数为 复合泊松分布重新定义如下：

(1)理赔次数N服从参数为 泊松分布
P ( N n)
n e
n!
, n 0,1,2,
M N (t ) e
( e t 1)
(2)X i 表示第i次发生理赔时的理赔额随机变量，
p 记P (x) 为独立同分布 X i 的共同分布函数，( x )为密度函数





M N t E e
tN
E E e


tN


e E
et 1
M et 1
负二项分布与泊松分布的关系有如下定理:
若已知：当取定某个值后，N服从参数为的 泊松分布，并且 Gamma( , )，则N的无条件 分布为负二项分布，其参数分别为：
E S E E S N E NE X E X E N
Var S Var E S N E Var S N
2
Var NE X E NVar X E X Var N E N Var X
3 4 2 X 0.1 0.4 0.5
求理赔总量S的方差和均值之和。
例4 设N 服从参数为p 的几何分布，0 < p < 1 , 理赔额 X 服从参数为1 的指数分布，那么S 的矩母函数和分 布函数是什么？
记 q 1 p ．我们首先来计算S 的矩母函数，然后
尝试通过得到的矩母函数来确定该复合分布．当 qet 1
第6章 短期聚合风险模型
6.1引言
短期聚合风险模型：理赔总量S表示为
N , N 0 X 1 X 2 ... X N X i S i 1 0 , N 0
(1) N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次数随机变量
(2)X i 表示第i次发生理赔时的理赔额随机变量
求理赔总量S的概率分布
2. S的均值，方差或高阶矩 记 Pk E ( X k )为k阶原点矩，记 M X (t ) E (etX )为 X i的 矩母函数， M N (t ) E (etN ) 为理陪次数 N 的矩母函 数， S (t ) E (etS ) 为 S 的矩母函数. M
模型研究两个步骤：
模型研究的第一步是N和X i的分布选择。
X N通常选为泊松或负二项分布， i 通常选为正态、伽 玛等分布。当N服从泊松分布时，S的分布称为复合 泊松分布；当N服从负二项分布时，S的分布称为复 合负二项分布。这两大类分布构成总理赔量 S分布 的主要形式。
模型研究的第二步是用 N的分布和X i所服从的共同分 布来表示 S的分布。
由矩母函数可以求出S的分布函数。
若N服从负二项分布
r n 1 r n p q , P ( N n) n n 0,1,2, r 0,0 p 1, p q 1
rq E(N ) p
rq Var( N ) 2 p
p M N (t ) 1 qet
解 由聚合风险模型有： E（S）=E（N）E（X）=λ·B ∴A正确。 VarS E 2 X VarN E N Var X B 2
∴B正确。 由于每次理赔额均为常数B，所以在保险 期内索赔总额仅取B的倍数，所以C正确。 依题意有：P（X=B）=1 ∴E（X）=B，Var（X）=0 ∴D错误。
P 解 M S t M N ln M X t 1 qM X t
1 2 1 M X t 3 2 M X t 3 1 t 3t 32 t 1 3
M S 1.0 3
1 3 3 4
n 0
P
n 0
*n
x
n e
n!
f S x p* n x
n 0

n e
n!
E S E X E N E X p1