一元二次方程全章拔高题精选一、学科内综合题（每小题8分，共48分）1．随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，•某城市到2006•年要将该城市的绿地面积在2004•年的基础上增加44%，同时，要求该城市到2006年人均绿地的占有量在2004年基础上增加21%，•为保证实验这个目标，这两年该城市人口的平均增长率应控制在多少以内？（精确1%） 2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4cm ，BC=10cm ，点P•从点B•出发沿BC•以1cm/s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B•的距离的8倍大1？3．已知关于x 的方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0有实数根． （1）求a 的取值范围；（2）设x 1，x 2是方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0的两个根，且x 12+x 22=9，求a 的值． 4．设m 为整数，且4<m<40，方程x 2－2（2m －3）x+4m 2－14m+8=0有两个整数根，求m 的值． 5．一扇上部是半圆形下部是矩形的钢窗，它的高等于宽，如果窗的全部面积是257m 2，求它的高和宽．（ =227） 6．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500•千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，•日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天赢利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？二、学科间综合题（10分）7．如图，AO=OB=50cm ，OC 是一条射线，OC ⊥AB ，一只蚂蚁由A 以2cm/s 速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O 点以3cm/s 的速度沿OC 方向爬行，几秒钟后，•两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2？三、应用题（每小题10分，共20分）8．在等腰△ABC 中，a=3，b ，c 是x 2+mx+2－12m=0的两个根，试求△ABC 的周长．9．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，•往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）四、创新新（12分）O CBA10．问题：构造ax 2+bx+c=0解题，已知：21a +1a－1=0，b 4+b 2－1=0，且1a ≠b 2，求21ab a +的值．五、中考题（共30分） 11．（6分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3•月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率是__________．12．（6分）解方程：222(1)6(1)11x x x x +++++=7时，利用换元法将方程化为6y 2－7y+2=0，•则应设y=_________．13．（6分）已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为________． 14．（12分）已知：关于x 的两个方程①2x 2+（m+4）x+m －4=0与②mx 2+（n －2）x+m －3=0，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根． （1）求证：方程②两根的符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n 为整数，求m 的最小整数值． 附加题（20分）设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m －2）x+m 2－3m+3=0•有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）若x 12+x 22=0，求m 的值;（2）22121211mx mx x x +--的最大值． 1. 如图，直线与双曲线交于点A ．将直线向下平移个6单位后，与双曲线交于点B ，与x 轴交于点C ，则C 点的坐标为___________；若，则 k=______．A. （,0） 12B. （,0） 6C. （12,0） 6D. （12,0） 122. 如图，直线y=-x-1交两坐标轴于A 、B 两点，平移线段AB 到CD ，使两点都落在反比例函数的图像上，DM ⊥x 轴于点N ，则DM-DN=____________．• A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案: 一、1．解：设2004年城市的人口总量为m ，绿地面积为n ，•这两年该城市人口的年平均增长率为x ，由题意，得2(144%)(1)n m x n m++=1+21%，整理，得 （1+x ）2=1.44 1.2,11.21 1.1x +=±． ∴x 1=21239%,1111x ≈=-（舍去）． 答：这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内．点拨：本题重点考查增长率的问题． 2．分析：假设当P 点移到E 点时可满足本题的条件，那么就有△ABE 为直角三角形，BE=PB ，EA=PA ，由题意，得PA 2－8PB=1．解：设经过x 秒后点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1， 由题意，得BE=PB=1×x=xcm ，AE=PA=42+x 2． ∴42+x 2－8x=1． 解得x 1=3，x 2=5．答：经过3秒或5秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1． 点拨：本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式． 3．解：（1）由b 2－4ac ≥0，得（2a －3）2－4a （a －1）≥0，a ≤98． （2）∵x 1，x 2是方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0的两个根， ∴x 1+x 2=231a a --，x 1x 2=1aa -．又∵x 12+x 22=9，∴（x 1+x 2）2－2x 1x 2=9． （231a a --）2－2×1aa -=9．整理，得7a 2－8a=0，a （7a －8）=0． ∴a 1=0，a 2=87（舍去）． 点拨：本题主要应用根与系数的关系及根的情况． 4．分析：由△=b 2－4ac ，得△=4（2m －3）2－4（4m 2－14m+8）=4（2m+1）． ∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4<m<40，∴9<2m+1<81，∴2m+1=16，25，36或49，∵m 为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，25．综上所述m 为12，或24． 点拨：本题应用的方程有整数根，b 2－4ac 必为一个完全平方数求解．5．分析：如图所示，半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高；矩形的宽=窗高－半圆半径； 全窗面积=半圆面积+矩形面积．解：设半圆的半径为xm ，则半圆的直径为2xm ，半圆的面积为22x πm 2，矩形面积为x ·2x=2x 2（m 2）， ∴根据题意，有2πx 2+2x 2=257，∴25x 2=25．∴x=1或x=－1（舍去）， 当x=1时，2x=2．答：窗的高和宽都是2m ．点拨：本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=－1虽符合所列方程，•但不符合题意，故舍去．6．解：设每千克水果应涨价x 元， 由题意，得（500－20x ）（10+x ）=6 000，解得x 1=5，x 2=10． 要使顾客得到实惠，应取x=5．点拨：本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用． 二、7．分析：本题可以分两种情况进行讨论． 解：（1）当蚂蚁在AO 上运动时，设xs 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2． 由题意，得12×3x ×（50－2x ）=450． 整理，得x 2－25x+150=0． 解得x 1=15，x 2=10．（2）当蚂蚁在OB 上运动时，设xs 钟后，两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2． 由题意，得12×3x （2x －50）=450． 整理，得x 2－25x －150=0． 解得x 1=30，x 2=－5（舍去）．答：15s ，10s ，30s 后，两蚂蚁与O 点组成的三角形的面积均为450cm 2．点拨：本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性． 三、8．分析：在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论． 解：∵b 、c 是方程x 2+mx+2－12m=0的两个根， ∴b+c=－m ，b ·c=2－12m ． （1）若a 为腰，则b=a=3． c=－m －b ，即3（－m －3）=2－12m ． 解得m=－225，∴b+c=225． ∴周长Q=b+c+a=225+3=375．（2）若a 为底，则b=c ． ∴△=m 2－4（2－2m）=0． m 1=－4，m 2=2，∴b+c=4或b+c=－2（舍去）． ∴周长Q=b+c+a=4+3=7． 答：△ABC 的周长为375或7． 点拨：了解形与数结合分类讨论的思想．9．分析：通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值．解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、•下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住在t 层的人直接上楼，s<t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，•则不满意的总分减少．设电梯停在第x 层，在第1层有y 人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33－x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x －y －2）] =3(33)(34)3(1)(2)(1)222x x y y x y x y ⨯--+----++=2x 2－（y+102）x+2y 2+3y+1 684=2（x －1024y +）2+18（15y 2－180y+3 068）=2（x －1024y +）2+158（y －6）2+316≥316．又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316． 四、10．分析：模拟例子，求出a+b ，ab 的值，然后再求值．解：∵21a +1a －－1=0， ∴（1a ）2+1a－1=0．又∵b 4+b 2－1=0，∴（b 2）2+b 2－1=0．∴1a 、b 2是方程x 2+x －1=0的两个根． ∴1a +b 2=－1，1a×b 2=－1．∴21ab a +=b 2+1a=－1．点拨：把1a、b 2看成是方程x 2+x －1=0的两个根是解本题的关键所在． 五、11．20% 分析：设月平均增长率为x ，由400（1+10%）（1+x ）2=633.6，解得x=0.2=20%．点拨：基数×（1+平均增长率）n =n 次增长后到达的数． 12．应设y=211x x ++ 分析：设y=211x x ++，∴原方程为2y +6y=7，∴6y 2－7y+2=0． 点拨：利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．13．2 设一个根为x ，则另一根为2x ，由题意，得 2x ·x=m ，2x+x=3，x=1． ∴m=2．点拨：由两根之和为－b a ，两根之积为ca可得方程． 14．证明：（1）设方程①两个负实根分别为x 1，x 2．则1212(4)42(4)0,0,40,0,20,40,2m m m x x x x m ⎧⎪+-⨯->∆>⎧⎪+⎪⎪+<-<⎨⎨⎪⎪>⎩-⎪>⎪⎩即 解得m>4． 由方程②有两个实数根知m ≠0，当m>4时，3m m->0，即方程②的两根之积为正，• 故方程②的两根符号相同．（2）20,2,23,32,m n m m m βααβααβα≠⎧⎪=⎪⎪-⎨+==-⎪⎪-==⎪⎩得22(2)392n m m m --=⇒（n －2）2=92m （m －3）．经讨论，m=6时，（n －2）2=92×6×3=81． 附加题分析：方程有两个不相等的实根，∴△=4（m －2）2－4（m 2－3m+3）=－4m+4>0，∴－1≤m<1． ∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3．∴（1）x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2x 1x 2=4（m －2）2－2（m 2－3m+3）=2m 2－10m+10， ∴m 2－5m+5=0． 解得m=52±．∵－1≤m<1，∴m=52． （2）22121211mx mx x x +--=22221221121212211212[(1)(1)][()](1)(1)1m x x x x m x x x x x x x x x x x x -+-+-+=----+． ∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3．∴上式可化为22121211mx mx x x +--=2（m 2－3m+1）=2（m －32）2－52． ∵－1≤m<1，当m=－1时，最大值为10．。