解法2：以中轴线 z 为变量，取厚为 dz 的圆环
为微元，微元离开顶点o 的距离为 z. 圆环的
面积为 （注意环侧长不是 dz，而是 dl = dz/
cosθ）
dS = 2πrdl=2πztanθdz/cosθ
= 2πsinθ/cos2θzdz
（3分）
dq = σdS= σ2πsinθ/cos2θzdz （2分）
dF
=
BI 2 dl
=
μ 0 I1 2πx
I 2 dl
=
μ 0 I1I 2 2πx
dl
因为 dl = dx/sinA = 5dx
所以合力：
∫ F =
0.15 0.05
5μ0 I1I2 2πx
dx
=
5μ0I1I2 ln 3 2π
或写成 4.91×10−7 I1I2 (N )
方向垂直线段AB向左下方。
（3分）
επr 2 RC
E0e−t / RC
=
επr 2 RC
E
4 （共4页）
二、计算题：（共48分）（数值计算保留3位有效数字） 1、(14分) 一圆台的锥顶张角为2θ，上底半径为R1， 下底半径为R2，如图所示。它的侧面均匀带电，电 荷面密度为σ，上下底面不带电。求顶点o处的电势。
解：以锥侧长 l 为变量, 取一侧长为 dl 的圆环为 微元，圆环的面积为
金属空腔，带电量为+Q，空腔内与球心o相距r 处有一
点 电 荷 +q ， 如 右 图 所 示 ， 则 球 心 o 点 的 电 势
为
，空腔外表面的电
势
。（以无穷远为电势零点。）
用电势的叠加计算：
（1）
1 4πε 0
⎜⎛ ⎝
q r
−
q a
+
Q+ b
q
⎟⎞ ⎠
（2分）
（2）
Q+q 4πε பைடு நூலகம்b
（2分）
2．（4分）真空中的两金属板间距为 d，极板的面积为S，上下两板分别带
M
=
B μ0
−
H
=
μrH
−
H
=
7.94 ×105
A/m
7．（4分）如右图，导线中的电流强度为I, 与导线垂
直且共面的金属杆 MN 在时刻0时自由下落，则在时刻 t
时金属杆两端的电动势为
，电势较高的一
端是
。
速度 v = gt, 方向向下
∫ ∫ εi =
(vr × Br) ⋅ dlr =
N M
v
×
μ0I 2πx
浙江大学 2012–2013 学年 1 学期
《 大学物理甲 》期中考试试卷
开课学院： 工科、理科试验班 ，考试形式：闭 ，允许带___计算器___入场
考试时间：__2012___年__11__月__21 _日, 所需时间： 90 分钟
考生姓名：
_学号：
专业：
_____；班内序号：
_
题序
填空
计算1
计算2
（4分） （1分）
7 （共4页）
。
pm = IS
12．（4分）平行板电容器的圆形极板半径为 r ，在放电时两极板间的电 场强度的大小为 E = E0e−t / RC ，式中E0、R、C都是常数，则两极板间的位移电流
的大小为
(电容器中的介质的介电常数为 ε, 却忽略边缘效
应)。
∫ ID =
S
ddDt dS
=
ε
dE dt
πr 2
大小为：ID =
(0.3ln
3
−
0.2)
= 2.60 ×10−8 I1 (wb) （4分）
6 （共4页）
(2) 由法拉第电磁感应定律得感应电动势大小
εi
=
−
dΦ dt
= 2.60 ×10−8
dI1 dt
= 5.20 ×10−8V
（3分）
由楞次定律得感应电流的方向为逆时针方向, 或B到A等写法。
（1分）
(3) dl 长的电流元的安培力
也增加εr
倍。
4. （4分）半径为R的金属球带电量+Q，球外充满相对介电常数为 εr 的各
向同性均匀电介质。球面上的极化电荷的总和为
，在半径 r (r > R)
处的极化强度为
。
球外的电场
E
=
Q 4πεrε0r 2
，极化强度
P
=
(εr
− 1)ε0 E
=
(εr −1)Q 4πεrr 2
球面上的极化电荷的密度 σ'=
=
Ν2
μ0Ι1Ν1 2R1
πR2 2
由Μ
=
Φ 21 Ι1
有, Μ
=
μ0 Ν1Ν 2 2R1
πR2 2
（用 Φ12 = ΜΙ 2
困难。）
（2）因为小线圈的磁矩的方向与磁场方向平行，所以磁力矩为 0.
（3）涡旋电场中心对称，有
2πR2 Ei
=
−
dB1 dt
πR22
小线圈上的涡旋电场的大小
Ei
=
μ0kN1 4R1
dS = 2πrdl=2πlsinθdl （3分） dq = σdS= σ2πlsinθdl （2分）
dU
=
σ2πl sin θdl 4πε0l
=
σ sin θdl 2ε0
（4分）
∫ U =
R2 / sin θ R1 / sin θ
σsin θdl 2ε0
=
σ 2ε0
( R2
− R1)
（5分）
（该题的微元有多种取法）
+Q 和 0的电量，则极板之间的电场为
。（忽略边缘效应）
因为上下两板分别带+Q 和 0的电量，电容器相对的两极板带的电量分别
为 Q/2 和 -Q/2，所以极板之间的电场
E
=
Q 2ε 0 S
（4分）
1 （共4页）
3. （4分）真空中的一平行板电容器，充电后与电源保持连接，然后在两
极板间充满相对介电常数为 εr 的各向同性均匀电介质，这时电容器的电场能
dx
=
μ 0 Igt 2π
ln
a
+ a
l
N端电势高
8．(4分) 如右图所示，均匀磁场的方向垂
直纸面向外，大小为1T，带等量正负电荷的导
电液体以10m/s 的速度通过边长为20cm 的正
方形管道，电荷密度等于1020/m3, 每个电荷的
电量为e ，则极板
的电势高，两极板
的电势差为
。
B qE = qvB U = Ed = vBd = 10 ×1× 0.2 = 2V
量是原来的
倍，电容器极板之间的吸引力是原来的
倍。（电
源电压不变）
电 容 器 的 电 容 C 增 加 εr 倍 ， 而 电 压 没 变 ， 所 以 电 容 器 的 电 场 能 量
W
=
1 2
CU
2
增加εr
倍。
电容器极板的电量 Q = CU 也为原来的εr 倍，而电场强度没有变化，所以
极板之间的吸引力
F = 1 QE 2
线平行，位置及线框尺寸如图所示。求：
（1） 通过三角形线框的磁通量Φ（用 I1表示出答案 即可）;
（2） 此线框中产生的感应电动势的大小和感应电
流的方向。
（3） 假设长直导线 MN 和直角三角形线框ABC通
有稳恒电流，电流强度分别为I1和I2，I2的方向 如图所示，求AB段受到的安培力。
解：(1) 电流 I1 的长直导线周围的磁感应强度B的分布表达式为
−Pr =R
=
−
(εr − 1)Q 4πεr R2
总和 Q'= 4πR2σ'= − (εr −1)Q εr
5．（4分） 一根无限长导线的中间弯一个半径为R的小圆，如下图所示，
通有电流 I , 则圆心处的磁感应强度的大小为
（缝隙忽略）。
直线的磁场： μ0 I 2πR
向外
圆的磁场： μ0 I 2R
向里
总磁场：
B=
μ0 I1 2πx
（1分）
其中 x 为离开通电直导线的距离。
取面积元 dS = bdx, b为 x 处线框的高
dΦ
=
BdS
=
μ 0 I1 2πx
bdx
=
μ0 I1 2πx
(0.3
−
2x)dx
（3分）
总磁通
∫ ∫ Φ =
dΦ =
μ 0.15 0
I1
0.05 2πx
(0.3
−
2x)dx
=
μ0 I1 2π
μ0I 2R
−
μ0I 2πR
R
I
6．（4分）如右图所示一细螺环，由每米1000匝的导线在
铁环上密绕而成，当导线的电流为2A时，铁环内的磁感应强度
为1T，则铁的相对磁导率为
。此时，介质表面的磁
化面电流密度等于 （1） B = μH
所以
。
μr =
B μ0H
=
B μ 0 nI
=398
2 （共4页）
（2）
9. (9 分) 如右图所示，大小两圆形线圈共面，匝数分别
为 Ν1、Ν2 ，半径分别为 R1、R2 ，R1 >> R2 且 R2 很小。这个系统
的互感系数 M =
。当大小线圈分别通有 I1 和
I2 的电流时，小线圈所到的磁力矩的大小为
。当大
线圈中的电流 I1 以速率 k = dI1 / dt 增大时，小线圈上的涡旋电
dBx