2016－2017数学必修五模块测试A卷第I卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设a < b < 0，则下列不等式中不成立．．．的是(A) 1a>1b(B)1a－b>1a(C) | a | > | b | (D) a 2 > b 22.由710>58，911>810，1325>921，…，若a > b > 0 且m > 0，则b + ma + m与ba之间大小关系为(A) b + ma + m>ba(B)b + ma + m=ba(C)b + ma + m<ba(D) 不确定3.已知a > 0，b > 0，1a+3b= 1，则a + 2b的最小值为(A) 7 + 2 6 (B) 2 3 (C) 7 + 2 3 (D) 144.海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是(A) 10 3 n mile(B) 1063n mile(C) 5 2 n mile(D) 5 6 n mile5.在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知A =3，a = 3 ，b = 1，则c等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 －1 (D) 36.在△ABC中，若 2 cos B sin A = sin C，则△ABC的形状一定是(A) 等腰直角三角形(B) 直角三角形(C) 等腰三角形(D) 等边三角形7.设等差数列 {a n} 的前n项和为S n，若S3 = 18，则a2 =(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 78.设 {a n} 是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4，成等比数列，则a1 =(A) 2 (B) －2 (C) 12(D) －12A BC60°75°9. 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，S n =a 1 (3 n －1)2 (n ≥1)，且 a 4 = 54，则 a 1的数值是 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 410. 如图，第 n 个图形是由正 n + 2 边形扩展而来，则第 n 个图形中顶点的个数是(A) (n + 1) (n + 2) (B) 12n (C) n 2+ 3n + 8(D) (n + 2) (n + 3)11. 在 R 上定义运算⊙：a ⊙b = ab + 2a + b ，则满足x ⊙(x －2) < 0的实数x的取值围为 (A) (－2,1) (B) (0,2) (C) (－∞,－2)∪(1,+∞) (D) (－1,2)12. 在 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边的长分别为 a 、b 、c ，则下列命题正确的是① 若 ab > c 2，则 C < π3；② 若 (a + b ) c < 2ab ，则 C > π2 ；③ 若 a + b > 2c ，则 C < π3；④ 若 (a 2 + b 2) c 2 < 2a 2 b 2，则 C > π3.(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ③④第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13. 已知 △ABC 中，a = 2 ，b = 3 ，B = 60°，那么角A 等于 *** .14. 若实数 x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ x + 2y －4≤0x －y －1≤0 x ≥1，则 z = x + y 的最大值是 _***_ .15. 设常数 a > 0.若 9x + a 2x≥a + 1 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值围为 *** .16.设数列 {a n} 满足a1 = 1，且a n+1－a n= n + 1(n∈N*)，则数列 { 1an} 前10项的和为 *** .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边.若A =3，b = 1，△ABC的面积为32，求a及B的值.18.(本小题满分12分)已知 {a n} 是递增的等差数列，a2，a4 是方程x 2－5x + 6 = 0 的根.(1) 求 {a n} 的通项公式；(2) 求数列 { an2n} 的前n项和.19.(本小题满分12分)港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正向的B处有一轮船，距离检查站为 31 n mile，该轮船从B处沿正西方向航行 20 n mile后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21 n mile，问此时轮船离港口A还有多远?20. (本小题满分12分)对于函数 y = f (x )，定义方程 f (x ) = x 的根为函数 y = f (x ) 的不动点.已知函数 f (x ) = a －xx的一个不动点为 1(1) 求 a 的值；(2) 解关于 x 的不等式 f (x ) > 2－m x－m21. (本小题满分12分)已知函数 f (x ) = ax 2 + bx －2b (1) 当 a = 1 时，若对任意的 x ∈(－ ,2)，不等式 f (x )≥1 恒成立，数 b 的取值围; (2) 若 | f (－1) |≤1，| f (1) |≤3，求 | a | + | b + 2 | 的取值围.22. (本小题满分12分)数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S n + a n = －n (n ∈N *) 恒成立. (1) 求数列 {a n } 的通项公式；(2) 求证：12a 1a 2 + 12 2a 2a 3 + … + 12 n a n a n +1< 22016－2017数学必修五模块测试A 卷答案 一、BAADBC CDBDAB12.【解析】① cos C = a 2 + b 2－c 22ab > 2ab －ab 2ab = 12 ⇒ C < π3⇒ ① 正确② cos C = a 2 + b 2－c 22ab > a 2 + b 2－( 2ab a + b )22ab = a 2 + b 22ab －2ab(a + b ) 2 > 1－1 = 0⇒ C < π2⇒ ② 错误③ cos C = a 2 + b 2－c22ab>a 2 +b 2－( a + b 2 )22ab= 3 (a 2 + b 2)－2ab 8ab > 6ab －2ab 8ab = 12⇒ C < π3⇒ ③ 正确④ cos C = a 2 + b 2－c 22ab > a 2+ b 2－2a 2 b2a 2 +b 22ab = a 2 + b 22ab －2aba 2 + b2 > 1－1 = 0⇒ C < π2 不能说明 C > π3，如 c = b = 1，a = 2 ，满足 (a 2 + b 2) c 2 < 2a 2 b 2，但C = π4，C > π3不成立 ⇒ ④ 错误二、13. 45︒ 14. 3 15. [15 ,+∞) 16. 201116.【解析】由a 1 = 1,且a n +1－a n = n + 1(n ∈N *)得,a n = a 1 + (a 2－a 1) + (a 3－a 2) + … + (a n－a n －1) = 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)2 ,则 1a n = 2n (n + 1) = 2 ( 1n －1n + 1),故数列 { 1a n } 前10项的和S 10 = 2(1－12 + 12 －13 + … + 110 －111 ) = 2(1－111 ) = 2011 .三、17. 【解析】由已知得：12 bc sin A = 12 ×1×c ×sin 60° = 32 ⇒ c = 2由余弦定理可得：a 2= 4 + 1－2×2×1×cos 60° = 3 ⇒ a = 3由正弦定理 a sin A = b sin B ⇒ 3sin 60︒ = 1sin B ⇒ sin B = 12∵ b < a ⇒ 0︒ < B < A < 180︒ ⇒ B = 30︒【另解】∵ a 2 + b 2 = c 2⇒ C = 90︒ ⇒ cos B = a c = 32又 0︒ < B < 180︒ ⇒ B = 30︒18. 【解析】(1)方程 x 2－5x + 6 = 0 的两根为2、3，由题意得 a 2 = 2，a 4 = 3，设数列 {a n } 的公差为 d ，则 a 4－a 2 = 2d ，故d = 12 ，从而 a 1 = 32，∴ {a n } 的通项公式为 a n = 12n + 1(2)设求数列 { a n 2 n } 的前 n 项和为S n ,由(1)知 a n 2 n = n + 22n +1 ，则 S n = 32 2 + 42 3 + 52 4 + … + n + 12 n + n + 22 n +112 S n = 32 3 + 42 4 + 52 5 + … + n + 12 n +1 + n + 22n +2 两式相减得12 S n = 34 + (12 3 + 12 4 + … + 12 n +1 )－n + 22 n +2 = 34 + 14 (1－12 n +1 )－n + 22n +2 ∴ S n = 2－n + 42n +119. 【解析】在△BDC 中，由余弦定理知，cos ∠CDB = BD 2 + CD 2－BC 22BD ·CD = －17∴ sin ∠CDB = 437.∴ sin ∠ACD = sin (∠CDB －π3 ) = sin ∠CDB cos π3 －cos ∠CDB sin π3 = 5314.在△ACD 中，由正弦定理知 AD sin ∠ACD = CDsin A⇒ AD = 5314 ×21÷32= 15(n mile ).∴ 此时轮船距港口还有15 n mile .20. 【解析】(1) 由题意 a －x x = x 的根为 1 ⇒ a －11 = 1 ⇒ a = 2(2) 由 (1) 得 f (x ) = 2－xx∴ f (x ) > 2－m x －m ⇔ 2－x x > 2－m x －m ⇔ (m －1) x + m x> 01︒ 当 m > 1 时，不等式为x －m1－m x > 0，由 m1－m< 0 ⇒ 不等式解集为 x > 0 或 x < m1－m2︒ 当 m = 1 时，不等式为 m x> 0，由m > 0 ⇒ x > 03︒ 当 m < 1 时，不等式为 x －m1－m x < 0，由 m1－m> 0 ⇒ m > 0 ∴ 0 < m < 1 时，m 1－m > 0，不等式解为 0 < x < m1－mm < 0 时，m 1－m < 0，不等式解为 m1－m< x < 0m = 0 时，m1－m= 0，不等式解集为空集 综上，不等式解集当 m > 1 时，为 (－∞,m1－m)∪(0,+∞)当 m = 1 时，为 (0,+∞) 当 0 < m < 1时，为 (0,m1－m)当 m = 0 时，为 ∅当 m < 0 时，为 (m1－m,0)21. 【解析】(1) 当 a = 1 时，原不等式化为 b (x －2)≥1－x 2∵ x ∈(－∞,2)∴ 原不等式化为 b ≤x 2－12－x，x ∈(－∞,2) 恒成立∵ x 2－12－x = 2－x + 32－x－4≥2 3 －4且 2－x =32－x，即 x = 2－ 3 时，等号成立 ∴ b ≤2 3 －4∴ b 的取值围是 (－∞,2 3 －4](2) 题目条件化为 －1≤a －3b ≤1，－3≤a －b ≤3 ⇒ a ∈[－5,5]，b ∈[－2,2], 可行域如图阴影部分设目标函数 z = | a | + | b + 2 | = | a | + b + 2 1︒ 当 －5≤a ≤0 时，取可行域 y 轴左边部分 目标函数 z = －a + b + 2，z 在BC 上达到最大值 5，在区域顶点 E (0,－13 ) 达到最小值 53∴ 53≤z ≤5;2︒ 当 0≤a ≤5时，取可行域 y 轴右边部分 目标函数 z = a + b + 2z 在区域顶点 A (5,2) 上达到最大值 9，在点 E 达到最小值 53∴ 53≤z ≤9;综上可得 z 的取值围是 [53,9]22.【解析】由 S n + a n = －n 得n = 1时，S 1 + a 1 = －1, S 1 = a 1 ∴a 1 = －12n ≥2时, a n = S n －S n －1S n + a n = －n ⇒ S n －1 + a n －1 = －(n －1) ∴S n + a n －(S n －1 + a n －1) = －1 ∴ 2a n = a n －1－1∴2(a n + 1) = a n －1 + 1a 1 + 1 = －12 + 1 = 12 ≠0∴a n + 1a n －1 + 1 = 12= q ≠0∴ {a n + 1} 是以 12 为首项，公比 q = 12的等比数列∴ a n + 1 = (a 1 + 1) q n －1= 12 n ∴ a n = 12n －1(2) 由 (1) 知 12 n a n a n +1 = 12 n (12 n －1)(12n +1－1)= 2n +1(1－2 n ) (1－2 n +1)= 2n +1(2 n －1) (2 n +1－1)= 2 (12 n －1 －12 n +1－1 )∴ 12a 1a 2 + 12 2 a 2a 3 + … + 12 n a n a n +1= 2[(12 1－1 －12 2－1 ) + (12 2－1 －12 3－1 ) + … + (12 n －1 －12 n +1－1 )] = 2(1－12 n +1－1)< 2。