3
1 s 3 s 2 s 1 E
方向一致
tg2 0
xy
x y

2t xy
s x s y
tg2 0
四、平面状态下的应力应变关系: s t t 0 z yz zx
s x
E x y 2 1 E s y y x 2 1
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
sy
y
单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
sz
z
txy
sx
x
b、平行面上，应力相等。
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直 的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定 等值、方向相对或相离。
s x s y 2 2 （ ）t xy 2
§ 三向应力状态研究:应力圆法
1、空间应力状态
y
s1 s2 s3
x
t
s
z
s3
s2
s1
2、三向应力分析
y
t
t max
s1 s2 s3
s
s3
x
图a
s2
s1
图b
z
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
txy
s
对上述方程消去参数（2），得：
s x s y s x s y 2 2 s t t xy 2 2 n
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
2 2
sx
y O
sy
x
txy
t
t
由德国工程师：Otto Mohr引入）
0 解 : 自由面上s 3
s2 s1
所以，该点处的平面应力状态
E 1 2 s 1 2 1 210 109 6 ( 240 0 . 3 160 ) 10 44.3MP a 2 10.3 E 2 1 s2 2 1 210 109 6 ( 160 0 . 3 240 ) 10 20.3MP a 2 10.3
y
sy sx
主单元体(Principal bidy)：各
侧面上剪应力均为零的单元体。 主平面(Principal Plane)： x 剪应力为零的截面。 主应力(Principal Stress ）：
sz
z
s2 s1
主平面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大 小，
s3
s 1s 2 s和强度理论
应力状态分析
§ 应力状态的概念
§ 平面应力状态分析——解析法
§ 平面应力状态分析——图解法 § 梁的主应力及其主应力迹线
§
§
三向应力状态研究——应力圆法
复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） § 复杂应力状态下的变形比能
§ 应力状态的概念
厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求
:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计 算容器所受的内压力。
y
s1
p
D
sm
p
p x
x A
p O B
l
图a
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平 衡方程
t yx
C M C
解：确定危险点并画其
t xy
原始单元体 s x s y 0
txy
Mn t xy t WP
求极值应力
tyx
y O
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ） t xy 2 2 s 2
x
t t
2 xy
s 1t ;s 2 0;s 3 t
t
F 0
n
n
s S s x S cos t xy S cos sin
2
O
t
s y Ssin 2 t yx Ssin cos 0
sy sx
y
考虑剪应力互等和三角变换，得：
s x s y s x s y s cos2 t xy sin 2 2 2
s
2 ；且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
21 O C B(sy ,tyx) 2 0
x A(sx ,txy)
s 1 OC R半径 s 3
s x s y
2
（
s x s y
2
2 2 ） t xy
s3 s2
s1
s
t min
t max s max s min R半径 2 t min
整个单元体内的最大剪应力为：
t max
s 1 s 3
2
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力.（MPa）
y
B A
30 z
t （MPa ）
C 40 50 B
建立应力坐标系如 图，画应力圆和 点s1′,得: 10
t max
x
s s2 s1 (MPa)
解：由单元体
s3
图知：y z面
为主面 A
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉 伸 铸铁压缩 P
M 低碳钢
铸铁
P
P M
2、组合变形杆将怎样破坏？
二、一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况
的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given
Point）。




t xy G xy
主应力与主应变方向一致?
xy tg2 0 tg2 0 s x s y E [( )(1 )] ( x y ) x y 1 2
2t xy
2 xyG
例已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：
1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。
s
x B sx tzx txz
s
x
A
s
x
§ 平面应力状态分析：解析法
sy
等价
y
sy sx
x
sx
y
txy
z
txy
x
O
sy sx
y
一、任意斜截面上的应力 规定：s 截面外法线同向为正；
txy
x
t 绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
O
s
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
sx
y
sy
x
txy
sy
y
证明 : 单元体平衡
M 0
z
sz
z
txy
sx
x
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
t xy t yx
六、单元体（已知单元体）：
例1
P
画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
A P
sx
A
sx t yx
y
B z P M
sx
tzx
C
x
B
txz
sx
C
t xy
七、主单元体、主面、主应力：
同理：
txy
x
图1
O
s
sx
y
sy
x
txy
图2
t
s x s y t sin 2 t xy cos2 2
n
O
t
二、极值应力
ds 令: s x s y sin2 0 2t xy cos2 0 0 d 0
由此的两个驻点：
01、（ 01 ）和两各极值：
4210 1090.01 350 106 3.36MPa 0.5(20.25)
§复杂应力状态下的变形比能
s1
1 1 1 u s 11 s 2 2 s 3 3 2 2 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 3 2 s 1s 2 s 3s 2 s 1s 3 2E 1 s m (s 1 s 2 s 3 ) 3
低碳钢
s yb 640~960MPa;t b 198~300MPa
铸铁
§ 平面应力状态分析:图解法
sy sx
y O x
一、应力圆（ Stress Circle）
s x s y s x s y s cos2 t xy sin2 2 2 t s x s y sin2 t cos2 xy 2
G
i 0 (ix,y,z)
yz zx 0
z
txy
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
sy
y
sx sz
z
txy
x
依叠加原理,得:
x sx
E E E 1 s x s y s z E
sy

sz
t xy xy G t yz yz G zx t zx