第一讲 分式的运算
【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;
2.与分式运算有关的运算法则
3.分式的化简求值(通分与约分)
4.幂的运算法则
【主要公式】1.同分母加减法则: b c b c a 0
aa a
b
2.异分母加减法则:
d
bc
da
bc da a 0, c 0;
a c ac ac ac
= 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n amn
a2
a2 1 4a
4
；（2）
a 2 4b 2 3ab 2
a
ab 2b
；（3）
42(x 2 x
y2)
x2 35( y x)3
1x2 y （1） 2 3
1x1 y 34
（2） 0.2a 0.03b 0.04a b
题型三：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1） x y x y
（2） a ab
（3） a b
题型四：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值.
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8 x
（2）当
x
为何值时，分式
5 x 3 (x 1)2
为负；
（3）当 x 为何值时，分式 x 2 为非负数. x3
练习：
1．当 x 取何值时，下列分式有意义：
（1） 1 6 | x | 3
（2） 3 x (x 1)2 1
（三）分式的乘除法
题型一：分式的乘法：
① 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，
b
应该通过约分进行化简
d
（
）
ac
② 整式和分式相乘，直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，分母不变。即 a c （ b
）
【例 1】 计算下列各分式：
(1)
a2 a2
4 2a 1
2．分式的变号法则： a a a a b b b b
题型一：分式化简（约分）
16x2 y3
x2 4
x y z
（1）
； （2）
; （3）在分式
20 xy 4
x2 4x 4
xyz
中，x,y,z 分别扩大到
原来的两倍，则分式大小怎么变化？
题型二：化分数系数、小数系数为整数系数 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
第十六章分式知识点和典型例习题
【知识网络】
3.分式的乘法与除法: b d bd , b c b d bd a c ac a d a c ac
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n
【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简 单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分 式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程 的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问 题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题—— —分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想， 对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分 式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些 运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．
（3） 1 1 1 x
2．当 x 为何值时，下列分式的值为零：
（1） 5 | x 1 | x4
（2）
25 x2
x2 6x
5
3．解下列不等式 （1） | x | 2 0
x 1
（本性质及有关题型
1．分式的基本性质： A A M A M B BM BM
7.负指数幂: a-p= 1
ap
a0=1
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：
A 形如 (A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B
0.4a 3 b
（2）
5
1a 1 b
4 10
2．已知： x 1 3 ，求 x2 的值.
x
x4 x2 1
3．已知： 1 1 3 ，求 2a 3ab 2b 的值.
ab
b ab a
4．若 a 2 2a b2 6b 10 0 ，求 2a b 的值. 3a 5b
5．如果1 x 2 ，试化简 | x 2 | x 1 | x | . 2 x | x 1| x
xy
x 2xy y
【例 4】已知： x 1 2 ，求 x2 1 的值.
x
x2
【例 5】若 | x y 1 | (2x 3)2 0 ，求 1 的值. 4x 2y
练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
（1） 0.03x 0.2 y 0.08x 0.5y
（2） 3x （3） 2 （4） 6 x （5） 1
x2 2
x2 1
| x | 3
x 1
x
题型三：考查分式的值为 0 的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
（2） | x | 2 x2 4
B
叫做分式的分母.
1
【例 1】下列代数式中： x , 1 x y, a b , x2 y 2 , x y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义.
【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义
（1） x 4 x4