《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题23：动态几何之单动点形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图彖问题，双（多）动点形成的函数关系和图彖问题，线动形成的函数关系和图彖问题，面动形成的函数关系和图彖问题。
本专题原创编写单动点形成的函数关系问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题。
动点变化的载体可以是三角形、特殊四边形或圆等平面图形，也可以是直线、双曲线或抛物线等函数图象。
单动点形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1・如图，在正方形ABCD中，AB=4cm,动点M从A出发，以lcm/s的速度沿折线AB-BC运动，同时动点N从A出发，以2cm/s的速度沿折线AD - DC - CB运动，M, N第一次相曲寸同时停止运设AAMN的而积为y,运动时间为x,则下列图彖中能大致反）动fy与x的函数关系的是（A.B. C.A yCcm 3)文案大全【答案】C【解析】试题分析：首先根据题意，运用分类讨论的数学思想求出y关于时间X的函数关系式，问题即可解决.解：设貼N第一；欠相週时间为m由题意得；2xtK=16；解得沪卑3-根据题意:当点N在AD边.或在N边上运动时、学齐两点M览比AB边亠运动J当点N在BC边上运动时，点M. H均在BC沪上运动.直到相i略止；此时MNM —（2x^8）—（X — 4） = - 3x+164-X*2XJI 0<X<22寺・4, 2<x<4 ,+ （ - 3x+16）X4, 4<x<^I w o故选C・点评：该命题主要考查了动点问题的函数图彖及其应用问题；解题的关键是准确把握题意，运用分类讨论的数学思想正确写岀函数关系式.原创模拟预测题2•如图，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y =-1：2 +2x0交y轴2 于点C,对称轴与x轴交于点D,设点P （x, y）是该抛物线在x轴上方的一个动点（与点C不重合），APCD的面积为S,求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
【答案】令y =0,即_+2%毎，解得x223o = ±『2设抛物线与x轴交于点A、B,(点A在点B的左边)，则A (2 —2旷0)、过点?作?Elx轴于点三。
①当点P在乂之间时，即—壬W,如答医」，V? (x, V),且点？在第二象限,0 三一“二>r = OH-OD=2・ 1 1 1・• S = S*二— Sfx 一g卫三=—I 4— y |*|~x ・4 ——代j・y - —y ■-将V =-冬：- k - 4代入上式得：S二区'-4x。
②当点P在CM之间时，即0VxW2,如答图2,VP (x, y),且点P 在第一象限，.I PE=y, 0E二x。
.\DE =0D 一0E = 2 -xo•/?(x, y),且点P 在第—象限,OH=Xo /.DE/* S =1 1 1 *1 三HOC= =i 4 一y i・x_=・_・4_Tx__h V = v-r ■■■ —A将丫=-2x -4代入上式得：S工-丄工'-4二。
SS4弟形PEOCSPD且-s CgD =—”4+y)・x+逬—2 2+ 2x+4代入上式得：S )+y _4 ・2 4y§x4t2——2 +4x°2将y 二-X：22③当点P在之间时，即2<x<2-恋、如答團2,lx1 2 3_ 4xf _ 孑T 〈x 〈0) 二一"【考点】动点问题，抛物线与x 的交点问题，解一元二次方程，由实际问题列函数关系式.分举甲相和转検甲相的应印【诫！设抛贏2与X 轴殳于点A 、B,根擄弾戋上点的坐标与方程的关系，打出点A 、B 的坐标；作 辅助过点P 作PE 丄x 进于点三,构适梯形PEOC,应用分类秫专换思想，学科网将所才』积转换十冶形 PEOC 面积与两个直甬三角形COD, PDE 面积的关系来建立函数关系式。
根据A 0, D,=的懂坐标丈出 自变量的取值范原创模拟预测题3•在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=2x+2的图象与x 轴交于A,与y 轴交 于点C,点B 的坐标为（a, 0）,（其中a>0）,直线1过动点M （0, m ） （0<m<2）,且与x 数式表示)；若不能，请说明理由.1 写出A 、C 两点的坐标；2当OVmVl 时，若APAQ 是以P 为顶点的倍边三角形（注：若厶 HNK 满足HN=2HK,则 称AHNK 为以H 为顶点的倍边三角形），求岀 m 的值；3 当lVmV2时，是否存在实数m,使CD?AQ=PQ?DE?若能，求出 ni 的值（用含&的代「1,：20<x<22§综上所述，S 关于x 的函数关系式为:SP点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE,直线【答案】解：(1)在直线解析式y=2x+2中，令y二0,得x二x=0,得y二2,A A (・ 1, 0) , C (0, 2) o(2)当OVmVl时，依题意画岀图形，如图1,・・・PE二CE,・・・直线1是线段PC的垂直平分线。
・・・MC二MP。
又C (0, 2) , M (0, m),・・・P (0, 2m・2)。
设直线1与y=2x+2交于点D, 令产恥则x=巴二,.\D (巴二,m)o设直线DP的解析式为y=l•:x+b 则有fb=2m-2 伍. b『学科网解得::畀——；—0 — m D— 2m—.・•・直线DP的解析式为:尸-- 2。
令y^Of 得x=ii19・°・Q 1z 0)o已知APAQ是臥P为顶点的倍边三甬形'由图可知，PA=2PQ?VOA:-OP: = 2J O P^T OQ^,即J：=2^(2m 2］：,整理得：丨m -1「= —o16解得：«=(|>1,不合题意，舍去)或m=A e 4 4 4■ b«・JF L —Q4(3)当lVmV2时，假设存在实数m,使CD?AQ=PQ?DE,依题意画岀图形，如图2,图2由(2)可知，0Q=m - 1, 0P=2m - 2, 由勾股定理得：PQ =例_1。
)VA (・ 1, 0) , Q (m ・ 1, 0) , B (a, 0), /.AQ=m, AB=a+loV0A=l, 002,由勾股定理得：CA 二5。
广 ・・•直线 l 〃x 轴，AACDE^ACABoCDCA 二 DEAB又・.・CD?AQ 二PQ?DE,・・・°°a+=-Q -- 1・・・当lVmV2时，若a>l,则存在实数m,使CD?AQ=PQ?DE ；若0V&W1,贝ij ma•・.C 飞AB AQ-al aOVaWl 时，m 不存在；当a>l时，mDE AQ解得:不存在。
*1 雾标：<1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解*（2）如團1所示，解题关递是求出点儿点Q的坐标"学科网然后利用P22PQ,列方程求解。
<3>如图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式轻 E 导二義，据此列方程求出介的值。
AB AQ原创模拟预测题4•如图,梯形ABCD中,AB〃DC, DE丄AB, CB丄AB,且AE=EB=5,DE=12,动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止。
设运动时间为t秒，y二SAEPB,则y与t 的函数图象大致是【】O\ 13 18 30^D.【答案】A 。
【考点】动点问题的函数图象，直角梯形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，分类 思想的应用。
【分析】分三段考虑，①点P 在AD 上运动，②点P 在DC 上运动，③点 P 在BC 上运动, 分别求出y 与t的函数表达式，继而可得出函数图象：在 RtAADE 中，AD =J A £ +DE 2=13,①点P 在AD 上运动时,如團，过点3作P\I 丄AB 于点M ^jPXU.APsm^A1 30 』”此B 寸 v =—三B «PM — — t —次/数©2 13②点 P 在 BC±运动，PB-AD-DC-CA -t-30-t , 此时v=lEB.PB=^ 30-tl ,为T 欠函数。
F 八 3013 18 30 r3030 13 18 30 t综上可得选项A 的图象符合。
故选A 。
原创模拟预测题5•如图，在矩形中，=3, ABCD运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动， 运动速度均为每、 秒 1个单位长度，当点 D卩接^~）秒.=4.动点从点出发沿向终点AB BCP AACC到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回•点 到达 点也同时停 时停止运动，点 止•连 CQt it?（1）求线段AC 的长度;（2） 当点Q 从点B 向点A 运动时（未到达A 点），求厶人卩©的面积S 关于t 的函数关系式，并 写岀t 的取值范围；（3） 伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为1：①当1经过点A 时，射线QP 交AD 于点E,求AE 的长;②当1经过点B 时，求t 的葫l t)4t 2t 2 6t,555【答案】(1) 5(2) S "3 =—245 t14【解析】(0t3) (3) 3、t = 2・5,2 2AB BC 5中,AC图②AC CB5$逾t) 't2x2 6t,2 5 5 5(2)过点 P 作 PH 丄AB 于点 H, AP=t, AQ 二3 —AP⑶ ①如图②，线段PQ 的垂直平分线为1经过点A,则AP 二AQ, 即 3 —t=t, t=l. 5, /.AP=AQ=1. 5,延长QP 交AD 于点E,过点Q 作QO 〃AD 交AC 于点0,文案大全則A _ _AQ_・ A0 一込*AC _5AC AB BC AB 2AQOQ = BC =2, .,.PO=AO~AP=1 ・AB由厶APE^AOPQ,得竝------- =~^- - AE =^0Q3：=OQ OP OP②(1)如團③，学科网当点■从厅向.；坯动时［红过点,欢BQ二C2AP二 J Z购uZQLP•/ZW+,乙QAT 十乙PCB=W：■ SC二乙FCB CP^BP^AP^ t/. CP^AP=2 AC=2 X 5二N 5 •: f=2.5 ・1 1(ii)如图④，当点Q从A向B运动时1经过点B,BP—SCF^Z-( t-3)=6- t, AP= f, PC=5-t,p「I 4 1CG = ----- BC = —15 ——— i. — r 匸一r4C€( 勺df 4 J** J ——由勾股定理得加必:+加，即(6宀虫产;|(一厂，解得2吝过点/•作羽丄加于点＜5由△甩3△磁,图③S④考点：矩形、相似三角形点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似原创模拟预测题6.如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A文案大全作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q,连接PQ, M 为PQ 中点.(1) 求证：△ADPs^ABQ；2(2) 若AD=1O, AB=20,点P 在边CD 上运动，设CP 二x, BM=y,求y 与x 的函数关系式, 并求线段BM 的最小值； (3)若AD=a, AB 二25,存二8,随着a 的大小的变化，点2落在矩形ABCD 内部时，求&的取值范围。