∆ ρ = ρ ⋅ Er
17
从而，求得
ρ = ρ ± ∆ρ
§2 有效数字及运算法则 一、有效数字 1．定义：若干位可靠数字加一位可疑数字构成。 ．定义：若干位可靠数字加一位可疑数字构成。 一位可疑数字构成 例：6.35mA 3位； 102.50Kg 5位；
l=10.34cm 4位。 注意： 数字前面“ ” 注意：①数字前面“0”不是有效数字
1.可靠与可靠 可靠 可靠与可靠→可靠 可靠与可靠
可靠 → 可疑 但进位是可靠的。 2.可疑与 但进位是可靠的。 可疑与 可疑
3.尾数的取舍原则： 4舍6入5凑偶。5凑偶后使末位 尾数的取舍原则： 舍 入 凑偶 凑偶。 凑偶后使末位 尾数的取舍原则 为偶数。 否则将5舍去 舍去。 为偶数 。 否则将 舍去 。 （ 不确定度的相关规定另 外说明） 外说明） ①加减法 结果的有效字位数与诸数中绝对误差最大者的有效数 字的末位对齐。 字的末位对齐。 例：6.35－1.7+5.003=9.6 －
3
结果： 结果： N = ( x − y ) ± ∆ N
15
2、函数关系为乘除的，先求相对不确定度 、函数关系为乘除的，
（1）将函数两边取对数，再对各自变量求偏导， ）将函数两边取对数，再对各自变量求偏导， 再代入公式（ ） 再代入公式（14）
( 2)
∆N 求出N并由 Er = N
求得 ∆ N = Er × N
（1）单次测量 △ A=0 ）
7
（2）多次测量 ） N趋于无穷时， 服从正态分布 趋于无穷时， 趋于无穷时 服从正态分布, 而进行有限次测量，一般服从t分布 学生分布)。 分布(学生分布 而进行有限次测量，一般服从 分布 学生分布 。 大学物理实验中n的次数一般不大于 次 大学物理实验中 的次数一般不大于10次 , 的次数一般不大于 近似，置信概率p为 在5＜n≤10时，作△A＝Sx近似，置信概率 为0.95 ＜ 时 或更大。所以作为简化计算，可直接把S 或更大。所以作为简化计算，可直接把 x的值当 作测量结果的总不确定度的A类分量 类分量△ 作测量结果的总不确定度的 类分量△A。
x = x ± ∆x
x − ∆ x与 x + ∆ x 之间出现真切值可能性 较大
2.用相对不确定度表示 用相对不确定度表示 ∆x Er = ×100% x 3.用百分偏差表示 用百分偏差表示
B=
x − x公 x公
定度的估算和结果的表示 1. 总不确定度的 类分量△ A: ——指多次重 总不确定度的A类分量 类分量△ 指多次重 复测量用统计方法计算出的不确定度。 复测量用统计方法计算出的不确定度。
大学物理实验
绪论
1
第一章 测量的不确定度和数据处理方法 §1 测量的不确定度 一 、测量与误差 1.直接测量与间接测量 直接测量与间接测量 2.测量误差 及误差的种类 测量误差
仪器误差 （1）系统误差 理论误差 (方法误差 ) 条件误差 （有一定的规律） 习惯误差 可通过一定的方法来减少或“消除” “消除”
∆ =
∆
2 A
+∆
2 B
9
小结： 小结：
△A 直 单次测量 接 测 量 多次测量 Sx
1 ∆仪 3
△B △仪
∆ = ∆ +∆
2 A
2 B
0
△＝△仪
∆ = S +∆ /3
2 X 2 仪
10
用米尺测得金属棒的长度为35.68cm,则应将 例：用米尺测得金属棒的长度为 则应将 结果表示为L=(35.68±0.05)cm. ± 结果表示为
0.0436m = 0.0000436km = 4.36 cm
有效数字的多少，往 往反映出测量时所用 的仪器
②当“0”不用作表示小数点位置时 即“0”在数 ”不用作表示小数点位置时,即 ” 字中间或末尾时是有效数字. 字中间或末尾时是有效数字 (1.35cm≠1.3500cm)
18
二
有效数字运算法则
16
4M 例： ρ = πD 2 H
已知： 已知：M = M ± ∆ M , D = D ± ∆ D H = H ± ∆ H 4 Lnρ = Ln + LnM − 2 LnD − LnH
π
对各直接测量量偏导： 对各直接测量量偏导：
1 2 1 ; − ; − M D H
∆ρ
而ρ=
4M
πD H
2
∆M 2 ∆D 2 ∆H 2 Er = = ( ) + (2 ) +( ) ρ M D H
23
b.不确定度截断时，采取“不舍只入”的办法，以 不确定度截断时，采取“不舍只入”的办法， 不确定度截断时 保证其置信概率水平不降低。 保证其置信概率水平不降低。 如：计算出不确定度为0.1322，截取两位数为 计算出不确定度为 ，截取两位数为0.14， ， 截取一位数为0.2。 截取一位数为 。 c.测量结果的最末位保留与不确定度相对齐来确定， 测量结果的最末位保留与不确定度相对齐来确定， 测量结果的最末位保留与不确定度相对齐来确定 对保留数字末位以后的部分采用“ 舍 入 凑偶 凑偶” 对保留数字末位以后的部分采用“4舍6入5凑偶”的 规则。 规则。 如：某测量数据计算的平均值为2.1554cm，其不确 某测量数据计算的平均值为 ， 定度计算得0.0124，则测量结果为 定度计算得 ，则测量结果为:(2.16±0.02)cm ±
19
②乘除法 结果的有效数字位数与诸数中有效数字位数最少者 结果的有效数字位数与诸数中有效数字位数最少者 相同。 相同。
6.025 × 15 例： = 9 .6 9.43
③乘方，开方 乘方， 结果的有效数字位数与自变量的有效数字位数相同。 结果的有效数字位数与自变量的有效数字位数相同。 自变量的有效数字位数相同
常用的不确定度传递公式见P 常用的不确定度传递公式见 9
14
1、函数关系为加减的，先求总不确定度 、函数关系为加减的，
直接将函数对各自变量求偏导，再代入公式（ ） 直接将函数对各自变量求偏导，再代入公式（13）
例： N = x − y
2
3
则 N = x − y3
2 2 2
∆ N = ∆ x + (−3 y ) ∆ y
1 n x = ∑ xi n i =1
∆xi = xi − x
4
（3）标准偏差 x ）标准偏差S
定义： S x = ( xi − x ) 2 ∑ n −1 LL Bessel公式 (3)
为n次测量的标准偏差。 次测量的标准偏差。 次测量的标准偏差
5
二、测量结果的表示 1.用总不确定度表示 用总不确定度表示
例： .32 2 = 18.7 4
④对数 (1)自然对数的有效数字位数与真数的有效数字位 自然对数的有效数字位数与真数的有效数字位 数相同。 数相同。 例：Ln5.374=1.682
20
(2)以10为底的对数，其尾数的有效数字 以 为底的对数 为底的对数， 位数与真数的有效数字位数相同。 位数与真数的有效数字位数相同。 例：Lg15.0=1.176 等有效数字位数可认为是无限的。 ⑤常数,π,e 等有效数字位数可认为是无限的。但一 常数 般取比运算各数中有效数字位数最多的还多一位。 般取比运算各数中有效数字位数最多的还多一位。 例：g=4π2L/T2
∆D
0.005 7.859 0.000 0.005 7.854 7.846 7.854 0.008 0.000006 7.857 0.003 0.000 7.854
0.006
结果
D = (7.854 ± 0.006)mm
12
四、 间接测量结果及不确定度的计算 设间接测量的函数关系式为： 设间接测量的函数关系式为： N＝f (x，y，z……)， ＝ ， ， ， 为相互独立的直接测量量， 其中x，y，z为相互独立的直接测量量 N为 其中x，y，z为相互独立的直接测量量，N为 间接测量量 。 设x, y, z，的不确定度分别为△x、△y、△z， ，的不确定度分别为△ 、 、 ， 它们必然影响间接测量结果， 它们必然影响间接测量结果，使N也有相应的 也有相应的 不确定度△ 不确定度△N
13
N的总不确定度△N : 的总不确定度△ 的总不确定度
∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∆ N = ( ) ∆ x + ( ) ∆ y + ( ) ∆ z + LL ∂x ∂y ∂z
N的相对不确定度 的相对不确定度: 的相对不确定度
∆N Er = N ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 = ( ) ∆x + ( ) ∆y + ( ) ∆ z + LL ∂x ∂y ∂z
2
（2） 随 机 条件微小差异 误 感官限制 差 本身不均匀性 * 差
单峰性 性 对称性 质 有界性 1 n 抵偿性 lim ∑ ∆N i = 0 n→∞ n i =1
P=
x2
∫ p( x)dx
3
x1
其中： （ ）为概率密度。 其中：p（x）为概率密度。 时测量的平均值， 为正态分布的 取µ为n→∞时测量的平均值，σ为正态分布的 为 时测量的平均值 标准偏差，则有： 标准偏差，则有：
需要注意的是：一些常用的长度测量仪器的仪器 需要注意的是： 不确定度由其测量范围决定， 不确定度由其测量范围决定，并不是其最小分度 值的1/2。（ 。（P30） 值的 。（ ）
11
例：用千分尺分别测量铜棒的直径得到下列
数据： 数据：
直径 D (mm)
D
∆Di
∆A =Sx
1 2 2 ∆ B = ∆仪 3
24
例：用Michelson干涉仪测量激光波长时涉及下列 一组数据：(单位：mm)
结果为3.11×104 （数值31136.2的大小与 有效数字发生矛盾） 写出有效数字位数，小数点前面取一位整 写出有效数字位数， 整个数值的数量级以10的方幂表示 的方幂表示。 数，整个数值的数量级以 的方幂表示。