于就是,得特征式为
从输入R到输出C的前向通路共有4条,其前向通路总增益以及余因子式分别为
因此,传递函数为
2-5试简化图2-5中的系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s )与C(s)/N(s)。
图2-5
解:仅考虑输入R(S)作用系统时,单独回路2个,即
两个互不接触的回路没有,于就是,得特征式为
从输入R到输出C的前向通路共有1条,其前向通路总增益以及余因子式分别为
第二章控制系统的数学模型
2.1RC无源网络电路图如图2－1所示,试采用复数阻抗法画出系统结构图,并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。
图2－1
解:在线性电路的计算中,引入了复阻抗的概念,则电压、电流、复阻抗之间的关系,满足广义的欧姆定律。即:
如果二端元件就是电阻R、电容C或电感L,则复阻抗Z(s)分别就是R、1/Cs或Ls。
低频段 ,斜率-20db/dec,延长线过1,2log10点,过 =0、2后,斜率为-40db/dec,过 =10后,斜率为-60db/dec
确定系统的截止频率 C与相角裕度。
确定系统的截止频率 C:
通过作图可以瞧出截止频率在1与2之间,在通过试根的方法确定稍精确的值为1、4
确定系统的相角裕度:
=1800+ =1800-900-arctan5 -arctan0、1 =900-81、880-7、970=0、150
5、4某位置控制系统的结构如图1。试绘制系统开环的伯德图,并确定系统的相位稳定裕量。
, =4, =10
低频段 ,斜率-20db/dec,过1,2log10点,过 =4后,斜率为-40db/dec,过 =10后,斜率为-60db/dec
终点: ,
(2)求幅相曲线与负实轴的交点
,
P=0,N-=1, N+=0,R=2(N+-N-)=-2,Z=P-2N=2
由奈氏判据知,闭环系统就是不稳定的。
5、3已知一单位负反馈系统开环传递函数
作系统开环对数幅频L(),有简要的计算说明画图过程,并确定系统的截止频率 C与相角裕度。
, =0、2, =10
两个互不接触的回路,于就是,得特征式为
从输入R到输出C的前向通路共有1条,其前向通路总增益以及余因子式分别为
因此,传递函数为
E(s)/R(s):单独回路3个,即
两个互不接触的回路,于就是,得特征式为
从输入R到输出E的前向通路共有2条,其前向通路总增益以及余因子式分别为
因此,传递函为
第三章线性系统的时域分析法
解:
(1)确定起点与终点
,故初始相角为-90,
终点: ,
(2)求幅相曲线与负实轴的交点
,
P=0,N-=1, N+=0,R=2(N+-N-)=-2,Z=P-2N=2
由奈氏判据知,闭环系统就是不稳定的。
5、2已知系统的开环传函用奈氏判据(画出奈氏曲线)判别闭环系统的稳定性。
解:
(1)确定起点与终点
,故初始相角为-180,
解本例就是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零,但其余各项不等于零或没有,这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项,从而可使劳斯行列表继续算下去。
劳斯行列式为
由劳斯行列表可见,第三行第一列系数为零,可用一个很小的正数ε来代替;第四行第一列系数为(2ε+2/ε,当ε趋于零时为正数;第五行第一列系数为(－4ε－4－5ε2)/(2ε+2),当ε趋于零时为 。由于第一列变号两次,故有两个根在右半s平面,所以系统就是不稳定的。
因此,传递函数为
仅考虑输入N(S)作用系统时,单独回路2个,即
两个互不接触的回路没有,于就是,得特征式为
从输入N到输出C的前向通路共有2条,其前向通路总增益以及余因子式分别为
因此,传递函数为
2-6用梅逊增益公式求传递函数C(s)/R(s)与E(s)/R(s)。
图2-6
解:C(s)/R(s):单独回路3个,即
3-1设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-1所示。试确定系统的传递函数。
图3-1二阶控制系统的单位阶跃响应
解在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不就是1,而就是3。系统模型为
然后由响应的 、 及相应公式,即可换算出 、 。
(s)
由公式得
换算求解得: 、
3-2设系统如图3-2所示。如果要求系统的超调量等于 ,峰值时间等于0、8s,试确定增益K1与速度反馈系数Kt。同时,确定在此K1与Kt数值下系统的延迟时间、上升时间与调节时间。
图3-2
解由图示得闭环特征方程为
即
,
由已知条件
解得
于就是
3-3已知系统特征方程式为 试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
解劳斯表为
1 18
8 16
由于特征方程式中所有系数均为正值,且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号,满足系统稳定的充分与必要条件,所以系统就是稳定的。
3-4已知系统特征方程为 试判断系统稳定性。
(1)用复阻抗写电路方程式:
(2)将以上四式用方框图表示,并相互连接即得RC网络结构图,见图2－1(a)。
2－1(a)。
(3)用梅逊公式直接由图2－1(a)写出传递函数Uc(s)/Ur(s)。
独立回路有三个:
回路相互不接触的情况只有L1与L2两个回路。则
由上式可写出特征式为:
通向前路只有一条
由于G1与所有回路L1,L2,L3都有公共支路,属于相互有接触,则余子式为
Δ1=1
代入梅逊公式得传递函数
2-2已知系统结构图如图2-2所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。
图2－2
解:(1)首先将含有G2的前向通路上的分支点前移,移到下面的回环之外。如图2-2(a)所示。
(2)将反馈环与并连部分用代数方法化简,得图2-2(b)。
(3)最后将两个方框串联相乘得图2-2(c)。
图2-2系统结构图的简化
2、3化简动态结构图,求C(s)/R(s)
图2－3
解:单独回路1个,即
两个互不接触的回路没有
于就是,得特征式为
从输入R到输出C的前向通路共有2条,其前向通路传递函数以及余因子式分别为
因此,传递函数为
2、4用梅森公式求系统传递函数。
图2－4
解:单独回路5个,即
两个互不接触的回路没有
3、5
解;在求解系统的稳态误差前必须判定系统就是否稳定;
系统特征方程为 由劳斯判据判断
劳斯行列式为
由于特征方程式中所有系数均为正值,且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号,满足系统稳定的充分与必要条件,所以系统就是稳定的。
可知v=1,K=10
当,
当
第五章线性系统的频域分析法
5、1已知系统的开环传函 ,用奈氏判据(画出奈氏曲线)判别闭环系统的稳定性。