一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=b a 则a 与b 的夹角等于 A ．90°B ．30°C ．60°D ．150°2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC OB OA OMB ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 413121++= D ．0=++MC MB MA 3、下列命题不正确的是A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；C ．两异面直线的公垂线有且只有一条；D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。

4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是A ．各侧面是正三角形B ．底面是正方形C ．各侧面三角形的顶角为45度D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上6、若点A （42+λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为A ．1，－4，9B ．2，－5，－8C ．－3，－5，8D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ．239 B ．433 C ．233 D ．439 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则 A ．θ=600 B ．θ=450 C ．52cos =θ D ．52sin =θ 10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是A ．2∶πB ．1∶2πC ．1∶πD ．4∶3π11、设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，则△BCD 是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定 12、将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°], 则折后两条对角线之间的距离的最值为A ．最小值为43, 最大值为23B ．最小值为43, 最大值为43C ．最小值为41, 最大值为43D ．最小值为43, 最大值为23二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分）13、已知向量a 、b 满足|a | = 31，|b | = 6，a 与b 的夹角为3π，则3|a |－2（a ·b ）+4|b | =________；14、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P －AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．ABCDEP15、若棱锥底面面积为2150cm ，平行于底面的截面面积是254cm ，底面和这个截面的距离是12cm ，则棱锥的高为 ；16、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 三、解答题：（本大题共6题，共46分）17.在如图7-26所示的三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ， PA=AC=1，PC=BC ，PB 和平面ABC 所成的角为30°。

（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小； （3）求AB 的中点M 到直线PC 的距离。

18．如图8-32，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1。

（1）求证：BE=EB 1；（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。

19.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角A′—DE—B。

（1）求证：平面A′GF⊥平面BCED；（2）当二面角A′—DE—B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直证明你的结论。

20.如图7-29，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=15，PD=3。

（1）求证：BD⊥平面PAD；（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小。

21.如图7-30，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于△ABC的高CD上。

AB=a,VC与AB之间的距离为h，M∈VC。

（1）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；（2）当∠MDC=∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；（3）若∠MDC=∠CVN=θ（0<θ<2π），求四面体MABC 的体积。

22.如图7-31，已知矩形ABCD ，AB=2AD=2a,E 是CD 边的中点，以AE 为棱，将△DAE 向上折起，将D 变到D ′的位置，使面D ′AE 与面ABCE 成直二面角（图7-32）。

（1）求直线D ′B 与平面ABCE 所成的角的正切值； （2）求证：AD ′⊥BE ；（3）求四棱锥D ′—ABCE 的体积； （4）求异面直线AD ′与BC 所成的角。

高二数学立体几何 答案一、选择题：1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、B9、C 10、C 11、C 12、B 二、填空题：13、23 14、AB ∥CD 15、30cm 16、3π 三、解答题17.解 （1）由已知PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，得△PAC 为等腰直角三角形，PC=CB=2。

在Rt △PAB 中，∠PBA=30°，∴PB=2，∴△PCB 为等腰直角三角形。

∵PA ⊥平面ABC ， ∴AC ⊥BC ，又AC ∩PC=C ，PC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAC ，∵BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC 。

（2）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC 的面积为21，侧面PAB 面积值为23，侧面PCB 面积值为1，底面积值为22。

三个侧面面积的算术平均数为633+。

∵633+-22=62333-+，其中3+3- 32=（3-22）+（3-2）=（9-8）+（3-2）>0, ∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。

（3）如图，过M 作MD ⊥AC ，垂足为D 。

∵平面PAC ⊥平面ABC 且相交于AC ，∴MD ⊥平面PAC 。

过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，连结ME ，则DE 是ME 在平面PBC 上的射影， ∵DE ⊥PC ，∴ME ⊥PC ，ME 的长度即是M 到PC 的距离。

在Rt △ABC 中,∵MD ∥BC ，∴MD=21BC=22。

在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42，在Rt △ABC 中,∵MD ∥BC ，∴MD=21BC=22。

在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42，∴ME=22DE MD +=8121+=410，即点M 到PC 的距离为 410。

18.解 （1）在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足。

∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1，取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC 。

∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG 。

由BF ，EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG 。

∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG 。

∵BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1。

又△AA 1C ∽△FGC ，且AF=FC ，∴FG=21AA 1=21BB 1，即BE=21BB 1，故BE=EB 1。

（2）分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D 。

∵EB 1∥CC 1，EB 1=21BB 1=21CC 1，∴DB 1=21DC 1=B 1C 1=A 1B 1。

∵∠B 1A 1C 1=∠B 1C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21(180°-∠DB 1A 1)=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即DA 1⊥A 1C 1。

∵CC 1⊥平面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C 1，∴∠CA 1C 1是所求二面角的平面角。

∵CC 1= AA 1=A 1B 1=A 1C 1, ∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°。

19.解 （1）∵△ABC 是正三角形，AF 是BC 边的中线， ∴AF ⊥BC 。

又D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥21BC 。

∴AF ⊥DE ，又AF ∩DE=G ， ∴A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ， ∴DE ⊥平面A ′FG ， 又DE 平面BCED ， ∴平面A ′FG ⊥平面BCED 。

（2）∵A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ，∴∠A ′GF 是二面角A ′—DE —B 的平面角。

∵平面A ′GF ∩平面BCED=AF ， 作A ′H ⊥AG 于H ， ∴A ′H ⊥平面BCED 。

假设A ′E ⊥BD ，连EH 并延长AD 于Q ，则EQ ⊥AD 。

∵AG ⊥DE ，∴H 是正三角形ADE 的重心，也是中心。

∵AD=DE=AE=2a ，∴A ′G=AG=43a,HG=31AG=123a 。

在Rt △A ′HG 中，cos ∠A ′GH=G A HG '=31. ∵∠A ′GF =π-∠A ′GH, ∴cos ∠A ′GF= -31，∴∠A ′GF=arcos(-31)， 即当∠A ′GF=arcos(-31)时，A ′E ⊥BD 。

20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°， 得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·ABcos60° =4+16-2×2×4×21=12。