山东省武城县第二中学2017届高三数学12月月考试题 理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{1,0,1,2},{|20}M N x x x =-=--<，则MN =（ ）A.{0,1}B.{1,0}-C.{1,2}D.{1,2}-2.设命题 2:0,1,p x x ∃<≥则p ⌝为（ ）A.20,1x x ∀≥< B.20,1x x ∀<< C.20,1x x ∃≥<D.20,1x x ∃<<3.为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)4y x π=-的图象。

（ ） A.向左平移8π个单位 B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位D.向右平移4π个单位4.函数(x)1ln(52)x f e x =+--的定义域为（ ）A.[0,)+∞B.(,2]-∞C.[0,2]D.[0,2)5.直线cos +320x y α+=的倾斜角的范围是（ ）A.5[,](,]6226ππππ B.5[0,][,)66πππ C.5[0,]6πD.5[,]66ππ6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每一走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。

”问此第4天和第5天共走了（ ）A.60里B.48里C.36里D.24里7.若圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴左侧，且被直线20x y +=，截得的弦长为4，则圆C 的方程是（ ）A 22(5)5x y -+=.B.22(x 5)5y ++=C.22(5)5x y -+=D.22(5)5x y ++=8.函数()f x 的图象关于y 轴对称，且对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=-，若当35(,)22x ∈时，1()()2x f x =，则(2017)f =（ ）A.14-B.14C.-4D.49.如图，在ABCD 中，M ，N 分别为AB,AD 上的点，且32,,43AM AB AN AD == 连接AC,MN交于P 点，若AP AC λ=,则λ的值为（ ）A.35B.37C.613D.61710.函数()(4)ln (1),f x kx x x x =+->若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A.114(2,)ln 2ln 33--B.114(2,]ln 2ln 33-- C.141(,1]ln 332ln 2--D.141(,1ln 332ln 2--） 二、填空题：本大题 共5个小题，每小题5分，共25分 11.定积分120(31)x x e dx ++⎰的值为 12.不等式|2||21|0x x --->的解集为13.已知4cos(),(0,)454ππαα-=∈，则cos 2sin()4απα+=DABCMNP14.一艘海警船从港口A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B 处，这时候接到从C 处发出的一求救信号，已知C 在B 的北偏东65°，港口A 的东偏南20°处，那么B ，C 两点的距离是海里。

15.已知自然数()()y f x x R =∈图象过点(e,0),(x)f '为函数(x)f 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >时，(x)2xf '<恒成立，则不等式(x)22ln f x +≥解集为。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）设函数23()sin cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=⋅- +>的图象上相邻最高点与最低点的距离为24π+。

（I ）求ω的值；（II ）若函数()(0)2y f x πϕϕ=+<<是奇函数，求函数(x)cos(2x )g ϕ=-在[0,2]π上的单调递减区间。

17.（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，向量(,sin sin )m a b A C =-+与向量(a c,sin(A C))n =-+共线。

（1） 求角C 的值；（2） 求27,AC CB ⋅=-求||AB 的最小值18.（本小题满分12分）已知,m R ∈设22:[1,1],24820P x x x m m ∀∈---+-≥成立；212:[1,2],log (1)1q x x mx ∃∈-+<-成立，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求m 的取值范围.19.数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有0n a >，24(1)n n S a =+①求数列{a }n 的通项公式 ②设123nn n na b T b b ==++…n b 求n T20.（本小题满分13分）在某次下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为v （米/单位时间），每单位时间的用氧量为3()110v +（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为2v（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y （升） （I ） 求y 关于v 的函数关系式； （II ） 若15(c 0)c v ≤≤>，求当下潜速度v 取什么值，总用氧量最少。

21.（本小题满分14分） 已知函数ln ()1xf x x =+ （I ） 求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ） 对函数定义域内每一个实数x ，2()1t f x x x +≥+恒成立。

（1） 求t 的最小值（2）证明不等式11ln23n>++…1(n Nn*+∈且2)n≥高三年级第三次月考试题数学（理）答案一、选择题（每小题5分，共50分） 1-5 ABAD B6-10 CBADB二、填空题（每小题5分，共25分） 11.1e +12.(1,1)-13.6514.2 15.(0,]e三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16.解：（I ）23()sin cos 3f x x x x ωωω=⋅+=13(1cos 2)3sin 2222x x ωω+-+=sin(2)3x πω-………………………………………………………………………3分设T 为()f x 的最小正周期，由()f x 24π+222max ()[2()]42T f x π∴+=+，因为max ()1f x =，所以22()442Tπ+=+，整理得2T π=，…………………………………………………………………………（5分） 又因为20,22T πωπω>==，所以12ω=…………………………………………（6分） （II ）由（I ）可知()sin(),()sin()33f x x f x x ππϕϕ=-∴+=+-，()y f x ϕ=+是奇函数，则sin()0,3x π-=又02πϕ<<，3πϕ∴=，………………………………………………………………………（8分）()cos(2)cos(2)3g x x x πϕ∴=-=-， 令222,()3k x k k Z ππππ≤-≤+∈则2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈…………………………………………（10分）∴单调递减区间是2[],63k k k Z ππππ++∈，， 又[0,2]x π∈∴当0k =时，递减区间为2[,]63ππ；当1k =时，递减区间为75[,]63ππ.∴函数()g x 在[0,2]π上的单调递减区间是275[,],[,]6363ππππ.………………（12分）17.解（I)向量m 与向量n 共线，()sin()()(sin sin )a b A C a c A C ∴-⋅+=-+，…………………………………(2分)由正弦定理可得：()()()a b b a c a c -=-+，222,c a b ab ∴=+-2221cos 22a b c C ab +-∴==，………………………………………………………（4分）0,3C C ππ<<∴=………………………………………………………………（6分）（II ）27,27AC CB CA CB ⋅=-∴⋅=，………………………………………（7分）1||||cos ||||272CA CB CA CB C CA CB ∴⋅=⋅=⋅= ||||54,CA CB ∴⋅=…………………………………………………………………（8分） 2222||||||||2AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅2||2||||227AB CB CA ∴≥⋅-⨯2545454=⨯-=，……………………………………………………………（10分）||36,AB ∴≥（当且仅当||||36CA CB ==时，取“＝”）||AB ∴的最小值为6…………………………………………………………（12分）18.解：若p 为真：对22[1,1],4822x m m x x ∀∈--≤--恒成立，……………（1分）设2()22,f x x x =--配方得2()(1)3f x x =--………………………………（2分）()f x ∴在［－1,1］上最小值为－3，2483m m ∴-≤-，解得1322m ≤≤， p ∴为真时：1322m ≤≤；……………………………………………………………（4分）若q 为真：2[1,2],12x xmx ∃∈-+>成立，∴21x m x -<成立.……………………………………………………………………（6分）设211()x g x x x x-==-，易知()g x 在[1,2]上是增函数，∴()g x 的最大值为3(2)2g =，∴32m<， ∴q 为真时，32m <.…………………………………………………………（8分）∵“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，∴p 与q 一真一假，………………（9分） 当p 真q 假时132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，∴32m =，……………………………………（10分）当p 假q 真时132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或，∴12m <，………………………………（11分）综上所述，m 的取值范围为12m <或32m =. 19.解：（1）24(1)n n S a =+①2114(1)n n S a --=+ 2n ≥ ②①－②2211422nn n n n a a a a a --=-+-11()(2)0n n n n a a a a --+--=2n ≥……………………………………2分∵0n a > 10n n a a -+>，∴12nn a a -=+……………………………………………………………………4分又211144(1)S a a ==+即11a =………………………………………………………………………………5分 ∴21na n =-………………………………………………………………………6分（2）1(21)()3n nb n =-⋅23111113()5()(21)()3333n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ ①231111111()3()(23)()(21)()33333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ②①－②2312111112()2()2()(21)()333333n n n T n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅ 1111()11332(21)()13313n n n ++-=⨯---⋅-…………………………………………8分22(1)1()333n n +=-⋅…………………………………………………………………10分 ∴11(1)3n nT n =-+⋅………………………………………………………………12分20.解：（I ）由题意，下潜用时60v（单位时间），用氧量为2360360[()1]1050v v v v+⨯=+（升），………………………………………………………………………………1分 水底作业时的用氧量为100.99⨯=（升），……………………………………2分返回水面用时601202v v =（单位时间），用氧量为1201801.5v v ⨯=（升），……3分 ∴总用氧量232409(0)50v y v v =++>.…………………………………………4分（II ）32262403(2000)5025v v y v v-'=-=， 令0y '=得3102v =，…………………………………………………………6分在30102v <<时，0y '<，函数单调递减，在3102v >时，0y '>，函数单调递增，……………………………………8分∴当3102c <时，函数在3(,102)c 上递减，在3(102,15)上递增，∴此时3102v =时总用氧量最少.………………………………………………11分当3102c ≥时，y 在[,15]c 上递增，∴此时v c =时，总用氧量最少.……………………………………………………13分21.解：（I ）由题意(0,)x ∈+∞且221(1)ln 1ln ()(1)(1)x xx x xx f x x x x +-+-'==++， ………………………………………………………………………………………………1分 ∴201(1)42f -'==， 又(1)02f ==，………………………………………………………………3分 ∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为10(1)2y x -=-即210x y --=.……4分（II ）①解：0x ∀>，2()1t f x x x +≥+恒成立即ln 211x t x x x +≥++， 即2ln 1x x x t x -≥+……………………………………………………………………5分 令2ln ()1x x x g x x -=+ 21ln ()(1)x x g x x --'=+………………………………………………………………6分 令()0g x '=，则1x =∴(0,1) ()0g x '>，()g x 为增函数(1,)+∞ ()0g x '<，()g x 为减函数………………………………………………8分 ∴max()(1)1g x g == ∴1t ≥，即t 的最小值为1…………………………………………………………9分②证明：由①知1t=时， ln 1211x x x x +≥++恒成立…………………………………………………………10分 即1ln 1x x≥-，1x =取“＝” 当2n ≥时，令1n xn =-，则111x n -= ∴1ln 1n n n>-……………………………………………………………………12分 21ln 12> 31ln 23>……1ln 1n n n>- 以上1n -个式子相加3111ln 2ln ln 2123n n n++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+-即111ln23nn>++⋅⋅⋅+………………………………………………………………14分（3）。