高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练. ● 忽视等价性变形，导致错误.⎩⎨⎧ x>0 y>0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y>0 xy>0 ，但 ⎩⎨⎧ x>1 y>2 与 ⎩⎨⎧ x + y>3 xy>2不等价. 【例1】已知f(x) = a x + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围.错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得.343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题.●忽视隐含条件，导致结果错误. 【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (449)A (-思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当. 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴k βααββαββααβα 有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和.这正是思维缺乏反思性的体现.如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒ .3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18. 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确. (2) 已知(x+2)2+ y24 =1, 求x 2+y 2的取值范围.错解 由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 ， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283 ].分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值. 事实上，由于(x+2)2+ y24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y24 ≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].注意有界性：偶次方x 2≥0，三角函数－1≤sinx ≤1，指数函数a x >0，圆锥曲线有界性等.●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误.【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b)2的最小值.错解 (a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4≥2ab+ab 2+4≥4ab ab 1•+4=8, ∴(a+a 1)2+(b+b1)2的最小值是8. 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值. 事实上，原式= a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b)+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)2－ab 2]+4 = (1－2ab)(1+221ba )+4， 由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221ba ≥17，∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)， ∴(a +a 1)2 + (b + b1)2的最小值是252 .●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=nn S ，求.n a错误解法 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析 显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a .错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是.因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验1=n 时的情形.即：⎩⎨⎧∈≥==),2()1(1N n n S n S a nn . (2)实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 错误解法 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得.817=a错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点.要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 思考题：实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=， (1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点.●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.【例5】(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .错误解法 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131，.012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.错误分析 在错解中，由qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131，01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和.在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形.正确解法 若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分.(2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点.错误解法 设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为⎩⎨⎧=+=xy kx y 212，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得 .01)22(22=+-+x k x k Θ直线与抛物线仅有一个交点，,0=∆∴解得∴=.21k 所求直线为.121+=x y 错误分析 此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为1+=kx y 时，没有考虑0=k 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的.第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况.原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透.第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0≠k 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密.正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22=相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22=只有一个交点.③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ,则⎩⎨⎧=+=xy kx y 212，∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=∆解得k = 12 ,∴所求直线为.121+=x y 综上，满足条件的直线为：.121,0,1+===x y x y《章节易错训练题》1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 A(集合元素的确定性)(A)0 (B) 0或1(C) 0或2 (D) 0或1或22、已知A = {}x | x2 + tx + 1 = 0 ，若A ∩R * = Φ ，则实数t 集合T = ___.{}2t t ->(空集) 3、如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是C(等号) (A) －1≤k ≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1<k ≤0 (D) －1<k<04、命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是C(等号)（A ）(4,)+∞ （B ）[)4,+∞ （C ）(,4)-∞- （D ）(],4-∞- 5、若不等式x 2－log a x <0在(0, 12 )内恒成立，则实数a 的取值范围是A(等号)(A) [116,1) (B) (1, + ∞) (C) (116,1) (D) (12,1)∪(1,2)6、若不等式(－1)n a < 2 + (－1)n + 1n 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是A(等号)(A) [－2，32 )(B) (－2，32 )(C) [－3，32 )(D) (－3，32 )7、已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足：(1)1f =；当0x <时，()0f x <；对于任意 的实数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=+.证明：()f x 为奇函数.(特殊与一般关系)8、已知函数f(x) = 1－2xx + 1 ，则函数()f x 的单调区间是_____.递减区间(－∞，－1)和(－1， +∞) （单调性、单调区间）9、函数y = log0. 5(x2－1) 的单调递增区间是________.[－ 2 ，－1）（定义域）10、已知函数f (x )= ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x+2) x>0x x －1 x≤0 ， f (x )的反函数f －1(x )=. ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2 x>1x x －1 0≤x <1（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数 f (x ) = log 12 (x 2 + a x + 2) 值域为 R ，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)(A) (－2 2 ,2 2 )(B) [－2 2 ,2 2 ](C) (－∞,－2 2 )∪(2 2 ,+∞)(D) (－∞,－2 2 ]∪[2 2 ,+∞)12、若x ≥0，y ≥0且x +2y =1，那么2x +3y 2的最小值为B(隐含条件) （A ）2（B ）34（C ）23（D ）013、函数y=63422-+++x x x x 的值域是________.(－∞, 52)∪(52,1)∪(1,+∞) （定义域）14、函数y = sin x (1 + tan x tan x2)的最小正周期是C （定义域）(A) 错误!(B) π(C) 2π(D) 315、已知 f (x ) 是周期为 2 的奇函数，当 x ∈ [0,1) 时，f (x ) = 2 x ，则 f (log 1223) = D(对数运算)(A) 2316(B) 1623(C) －1623 (D) －231616、已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.(2004天津)（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上.） 17、已知tan (α－错误!)= － 错误!则tan α = ；错误!= .错误!、错误!（化齐次式） 18、若 3 sin 2α + 2 sin 2β －2 sin α = 0，则cos 2α + cos 2β 的最小值是 __ .149 (隐含条件)19、已知sin θ + cos θ = 15 ，θ ∈ (0，π)，则cot θ = _______.－34(隐含条件)20、在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、2=b 、4π=A ，则∠B = B(隐含条件)（A ）12π （B ）6π （C ）656ππ或（D ）121112ππ或21、已知a >0 , b>0 , a +b=1，则(a + 1a )2 + (b + 1b )2的最小值是_______.252 (三相等)22、已知x ≠ k π (k ∈ Z)，函数y = sin 2x + 4sin2x 的最小值是______.5（三相等） 23、求xx y 22cos 8sin 2+=的最小值. 错解1 |cos sin |8cos 8sin 22cos 8sin 22222x x x x x x y =⋅⋅≥+=.16,.16|2sin |16min =∴≥=y x错解2.261182221)cos cos 8()sin sin 2(2222+-=-+≥-+++=x xx x y 错误分析 在解法1中，16=y 的充要条件是.1|2sin |cos 8sin 222==x xx 且 即.1|x sin |21|x tan |==且这是自相矛盾的..16min ≠∴y 在解法2中，261+-=y 的充要条件是,22cos 2sin cos cos 8sin sin 2222222====x x x xx x ，，即且这是不可能的. 正确解法1 x x y 22sec 8csc 2+=.18xtan 4x cot 2210)x tan 4x (cot 210)x tan 1(8)x cot 1(2222222=⋅⋅+≥++=+++=其中，当.18y 2x cot x tan 4x cot 222===时，，即.18min =∴y 正 确 解 法2 取正常数k ，易得k x k xx k x y -+++=)cos cos 8()sin sin 2(2222.268222k k k k k -⋅=-⋅+⋅≥ 其中“≥”取“＝”的充要条件是.18k 21x tan x cos k xcos 8x sin k x sin 222222====且，即且因此，当,18k k 26y 21x tan 2=-⋅==时，.18min =∴y 24、已知a 1 = 1，a n = a n －1 + 2n －1(n ≥2)，则a n = ________.2n －1(认清项数)25、已知 －9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b 3、－1 五个实数成等比数列， 则 b 2 (a 2－a 1) = A(符号) (A) －8(B) 8 (C) －98(D) 9826、已知 {a n } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列. （忽视公比q = －1）27、已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，f(a n )－f(a n －1) = k(a n －a n －1)(n = 2,3,┄)，其中a 为常数，k 为非零常数.（1）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）当1||<k 时，求n n a ∞→lim .(2004天津)（等比数列中的0和1，正确分类讨论）28、不等式m 2－(m 2－3m)i < (m 2－4m + 3)i + 10成立的实数m 的取值集合是________.{3}(隐含条件) 29、i 是虚数单位，(－1+i)(2+i)i3的虚部为（ ）C(概念不清) (A) －1(B) －i(C) －3 (D) －3 i30、实数m ，使方程021)4(2=++++mi x i m x 至少有一个实根. 错误解法 Θ方程至少有一个实根，020m )m i 21(4)i 4m (22≥-=+-+=∆∴ ⇒ ,52m ≥或.52-≤m错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用.一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误.正确解法 设a 是方程的实数根，则.0i )m 2a 4(1m a a ,0m i 21a )i 4m (a 22=++++∴=++++由于m a 、都是实数，⎩⎨⎧=+=++∴24012m a ma a ,解得 .2±=m 31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________.(35 ，－45 )或(－35 ，45 )；(45 ，35 )或(－ 45 ，－ 35)(漏解) 32、将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y= 4x ，则向量a =______. a = (h ，4h+8) (其中h ∈ R)(漏解)33、已知 |a r |＝1，|b r |＝2，若a r //b r ，求a r ·b r.①若a r ，b r 共向，则 a r ·b r ＝|a r |•|b r|＝2，②若a r ，b r 异向，则a r ·b r ＝－|a r |•|b r|＝－2.(漏解)34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC = a ，则正三棱锥A －BCD 的体积为____________.2 24a 3(隐含条件) 35、在直二面角 α－AB －β 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别在 α、β 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为D(漏解) (A) 45︒(B) 60︒ (C) 120︒(D) 60︒ 或 120︒36、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. （1）证明PA//平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小.(2004天津)(条件不充分(漏PA ⊄ 平面EDB ，⊂DE 平面PDC ，DE ∩EF = E 等)；运算错误，锐角钝角不分.) 37、若方程 x 2m + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______.(0，1)∪(1，+ ∞)(漏解) 38、已知椭圆 x 2m + y 2 = 1的离心率为 32 ，则 m 的值为 ____ .4 或 14(漏解)39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F 1、F 2 组成的三角形的周长为 4 + 2 3 且∠F 1BF 2 = 错误!，则椭圆的方程是 .错误!+ y 2 = 1或x 2 + 错误! = 1(漏解)40、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.(2004天津)(设方程时漏条件a > 2 ，误认短轴是b = 2 2 ；要分析直线PQ 斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理.) 41、求与y 轴相切于右侧，并与⊙06:22=-+x y x C 也相切的圆的圆心的轨迹方程.错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C 的方程为.9)3(22=+-y x 设点)0)(,(>x y x P 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与y 轴相切于M 点， 与⊙C 相切于N 点.根据已知条件得3||||+=PM CP ，即3x y )3x (22+=+-，化简得).0(122>=x xy错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）.事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程.从动圆与已知圆内切，可以发现以x 轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以)30(0≠>=x x y 且也是所求的方程.即动圆圆心的轨迹方程是y 2 = 12x(x>0)和)30(0≠>=x x y 且.因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性.42、（如图3－2－2），具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角βα轴－y -等于︒60.已知β内的曲线C '的方程是)0(22>'=p x p y ，求曲线C '在α内的射影的曲线方程.错误解法 依题意，可知曲线C '是抛物线， 在β内的焦点坐标是.0),0,2(>'p pF 因为二面角βα轴－y -等于︒60，且轴，轴轴，轴y x y x ⊥⊥'所以.60︒='∠x xo设焦点F '在α内的射影是),(y x F ，那么，F 位于x 轴上， 从而,90,60,0︒='∠︒='∠=FO F OF F y所以.421260cos p p F O OF =⋅=︒⋅'=所以点)0,4(pF 是所求射影的焦点.依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点.所以曲线C '在α内的射影的曲线方程是.2px y =错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F 是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C /在α 内的射影(曲线)是一条抛物线.正确解法 在β内，设点),(y x M ''是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点M 作α⊥MN ，垂足为N ， 过N 作y NH ⊥轴，垂足为.H 连接MH ， 则y MH ⊥轴.所以MHN ∠是二面角β-α轴－y 的平面角，依题意，MHN ∠︒=60.在.2160cos ,x HM HN MNH Rt '=︒⋅=∆中又知x HM '//轴（或M 与O 重合），x HN //轴（或H 与O 重合），设),(y x N ， 则 ⎩⎨⎧='='∴⎪⎩⎪⎨⎧'='=.221y y xx y y x x 因为点),(y x M ''在曲线)0(22>'=p x p y 上，所以).2(22x p y = 即所求射影的方程为 ).0(42>=p px y数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心.以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程.在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密.二、选择题：1．为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π 错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B2．函数⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=2tantan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( ) A π B π2 C2π D 23π错误分析:将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 答案: B 3．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(ωx+ϑ)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P 2P 4|.4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握.5．函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+ϕ)(ω>0, A ≠0)的图象在区间(x 0,x 0+ωπ)上（ ）A ．至少有两个交点B ．至多有两个交点C ．至多有一个交点D ．至少有一个交点正确答案：C错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题.6． 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )A ．6π B ．3π C ．6π或π65D ．3π或32π正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验. 7．已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,2ππ)，则α+β=（ ）A ．3π B ．3π或-π32C ．-3π或π32D ．-π32正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围. 8． 若，则对任意实数的取值为（ ） A. 1B. 区间（0，1）C.D. 不能确定解一：设点，则此点满足 解得或 即 选A解二：用赋值法，令 同样有 选A说明：此题极易认为答案A 最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C 或D.9． 在中，，则的大小为（ ） A.B.C.D.解：由平方相加得 若 则 又 选A说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现.这里提示我们要注意对题目条件的挖掘.10． ABC ∆中,A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c .若x a =,2=b ,︒=45B ,且此三角形有两解,则x 的取值范围为 ( )A.)22,2(B.22C.),2(+∞D. ]22,2( 正确答案：A错因：不知利用数形结合寻找突破口.11．已知函数 y=sin(ωx+Φ)与直线y ＝21的交点中距离最近的两点距离为3π，那么此函数的周期是（ ） A3πB πC 2πD 4π 正确答案：B错因：不会利用范围快速解题.12．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是………………………… ( )A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ正确答案：C错因：不注意内函数的单调性.13．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππβα,2,且0sin cos >+βα，这下列各式中成立的是（ ） A.πβα<+ B.23πβα>+ C.23πβα=+ D.23πβα<+ 正确答案(D)错因:难以抓住三角函数的单调性.14．函数的图象的一条对称轴的方程是（）正确答案A错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简. 15．ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上是增函数，那么（ ）A ．230≤<ω B ．20≤<ωC ．7240≤<ω D ．2≥ω正确答案A错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法.16．在(0，2π)内，使cos x ＞sin x ＞tan x 的成立的x 的取值范围是 （ ） A 、 (43,4ππ) B 、 (23,45ππ) C 、（ππ2,23） D 、(47,23ππ) 正确答案：C17．设()sin()4f x x π=+，若在[]0,2x π∈上关于x 的方程()f x m =有两个不等的实根12,x x ，则12x x +为A 、2π或52π B 、2πC 、52πD 、不确定正确答案：A18．△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516- 答案：A点评：易误选C.忽略对题中隐含条件的挖掘.19．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为（ ） A 、6π B 、65π C 、6π或65π D 、3π或32π答案：A点评：易误选C ，忽略A+B 的范围. 20．设cos1000=k ，则tan800是（ ）A 、k k 21-B 、k k 21--C 、k k 21-± D 、21kk -±答案：B点评：误选C ，忽略三角函数符号的选择. 21．已知角α的终边上一点的坐标为（32cos ,32sinππ），则角α的最小值为（ ）. A 、65π B 、32π C 、35π D 、611π正解：Dπαπαπα61165,3332cos tan ==∴-==或，而032sin >π032cos <π所以，角α的终边在第四象限，所以选D ，πα611=误解：παπα32,32tan tan ==,选B 22．将函数x x f y sin )(=的图像向右移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到的函数x y 2sin 21-=的图像，则)(x f 可以是（ ）.A 、x cos 2-B 、x cos 2C 、x sin 2-D 、x sin 2 正解：Bx x y 2cos sin 212=-=,作关于x 轴的对称变换得x y 2cos -=,然后向左平移4π个单位得函数)4(2cos π+-=x y x x f x sin )(2sin ⋅== 可得x x f cos 2)(=误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解.23． A ，B ，C 是∆ABC 的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532=+-x x 的两个实数根，则∆ABC 是（ ）A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形 正解：A由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+31tan tan 53tan tan B A B A253235tan tan 1tan tan )tan(==-+=+∴B A B A B A在ABC ∆中，025)tan()](tan[tan <-=+-=+-=B A B A C π C ∠∴是钝角，ABC ∆∴是钝角三角形.24．曲线θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==y x 为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）.A 、21B 、22C 、1D 、2正解：D.θθsin cos +=d由于⎩⎨⎧==θθsin cos y x 所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑I ∈θ的情况，即θθcos sin +=d则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθd ∴2max =d误解：计算错误所致.25．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ）A 、),2(+∞B 、),1(+∞C 、)2,1(D 、)1,1(- 错解: B.错因:只注意到,0tan ,0tan >>B A 而未注意C tan 也必须为正. 正解: A. 26．已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12543--或错解：A错因：忽略1cos sin 22=+θθ，而不解出m 正解：C27．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+π3 )B ．y=sin(－2x －π3)C ．y=sin(－2x+ 2π3 )D ． y=sin(－2x －2π3)错解：B错因：将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度时，写成了)32sin(π-=x y正解：D28．如果2πlog |3π|log 2121≥-x ，那么x sin 的取值范围是（ ） A ．21[-，]21 B ．21[-，]1 C ．21[-，21()21Y ，]1 D ．21[-，23()23Y ，]1 错解: D ．错因:只注意到定义域3π≠x ,而忽视解集中包含32π=x . 正解: B ． 29．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ）A 、]4,4[ππππ+-k k （z k ∈） B 、)](43,4[z k k k ∈++ππππ C 、)](22,42[z k k k ∈++ππππ D 、)](2,4[z k k k ∈++ππππ答案：D 错解：B错因：没有考虑根号里的表达式非负. 30．已知y x y x sin cos ,21cos sin 则=的取值范围是（ ） A 、]21,21[-B 、]21,23[-C 、]23,21[- D 、]1,1[- 答案：A 设t y x y x t y x 21)sin )(cos cos (sin ,sin cos ==则，可得sin2x sin2y=2t,由21211212sin 2sin ≤≤-∴≤≤t t y x 即. 错解：B 、C错因：将t y x t y x y x +=+==21)sin(sin cos 21cos sin 相加得与由212312111)sin(1≤≤-≤+≤-≤+≤-t t y x 得得选B ，相减时选C ，没有考虑上述两种情况均须满足. 31．在锐角∆ABC 中，若C=2B ，则bc的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 答案：C 错解：B错因：没有精确角B 的范围32．函数[]上交点的个数是，的图象在和ππ22tan sin -+=x y x y （ ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 正确答案：B错误原因：在画图时，0＜x ＜2π时，x tan ＞x sin 意识性较差. 33．在△ABC 中，,1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+A B B A 则∠C 的大小为 （ ） A 、30° B 、150° C 、30°或150° D 、60°或150° 正确答案：A错误原因：易选C ，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴21sin =A ，∴B A cos 4sin 3+＜211＜6和题设矛盾 34．()的最小正周期为函数x x x x x f cos sin cos sin -++= （ ） A 、π2 B 、π C 、2π D 、4π正确答案：C错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得()2,2ππ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+T x f x f 故35．的最小正周期为函数⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=2tantan 1sin x x x y （ ）A 、πB 、π2C 、2πD 、23π正确答案：B错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响.36．已知奇函数()[]上为，在01-x f 等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β) C 、f(sin α)＜f(cos β) D 、f(sin α)＞ f(cos β) 正确答案：（C ）错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强.37．设()[]上为增函数，，在＝函数43sin ,0ππωω->x x f 那么ω的取值范围为（ ） A 、20≤>ω B 、230≤>ω C 、7240≤>ω D 、2≥ω正确答案：(B)错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚.二填空题：1．已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ， 且α、∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π，则2tanβα+的值是_________________. 错误分析：忽略了隐含限制βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根，从而导致错误. 正确解法：1>a Θ ∴a 4tan tan -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα ∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根 又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα 由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22tan -=+βα答案: -2 .2．已知αβαcos 4cos 4cos 522=+,则βα22cos cos +的取值范围是_______________.错误分析:由αβαcos 4cos 4cos 522=+得ααβ22cos 45cos cos -=代入βα22cos cos +中,化为关于αcos 的二次函数在[]1,1-上的范围,而忽视了αcos 的隐含限制,导致错误.答案: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2516,0. 略解: 由αβαcos 4cos 4cos 522=+得ααβ22cos 45cos cos -= ()1 []1,0cos 2∈βΘ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴54,0cos α将（1）代入βα22cos cos +得βα22cos cos +=()12cos 412+--α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2516,0. 3．若()π,0∈A ,且137cos sin =+A A ,则=-+AA AA cos 7sin 15cos 4sin 5_______________. 错误分析:直接由137cos sin =+A A ,及1cos sin 22=+A A 求A A cos ,sin 的值代入求得两解,忽略隐含限制⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2A 出错. 答案:438. 4．函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______. 解：若则 1252a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩若 则说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况.这里提醒我们考虑问题要周全. 5．若Sin532=αcos 542-=α，则α角的终边在第_____象限. 正确答案：四错误原因：注意角2α的范围，从而限制α的范围. 6．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为_________. 正确答案：3错因：看不出是两角和的正切公式的变形. 7．函数sin (sin cos )y x x x =+([0,])2x π∈的值域是 ．正确答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，则函数cos sin y a x b x =+的最大值是 ．正确答案：59．定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为．正确答案：[1,2- 10．若135sin =α，α是第二象限角，则2tan α=__________ 答案：5点评：易忽略2α的范围，由2tan 12tan2sin 2ααα+=得2tan α=5或51. 11．设ω>0，函数f(x)=2sin ωx 在]4,3[ππ-上为增函数，那么ω的取值范围是_____答案：0<ω≤32 点评：]2,2[]4,3[πππωπω-⊆-12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos(A －B)=3231，则cosC=__________答案：81 点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化.13．在ABC ∆中，已知a ，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则①若b a >，则x B A x f ⋅-=)sin (sin )(在R 上是增函数；②若222)cos cos (A b B a b a +=-，则∆ABC 是∆Rt ；③C C sin cos +的最小值为2-；④若B A 2cos cos =，则A=B ；⑤若2)tan 1)(tan 1(=++B A ，则π43=+B A ，其中错误命题的序号是_____.正解：错误命题③⑤.① 0sin sin ,sin sin >-∴>⇔>B A B A b a上是增函数。