n

(S
i1
Pi) 0
根轨迹起始于开环极点 Pi 根轨迹终点在K1= ∞ 处
m (Sj1 Nhomakorabea Z j) 0
根轨迹终止在开环零点 Zj
n条轨迹从开环极点出发，只能有m条 终止在开环零点, n>m, 另外n-m 条应终止何处？ 根轨迹法
余下n-m条根轨迹将终止在无穷远处

(S Z 1 )(S Z 2 ) (S Zm) (S P 1 )(S P 2 ) (S Pn) (S Z 1 )(S Z 2 ) (S Zm) (S P 1 )(S P 2 ) (S Pm)(S Pm 1 ) (S Pn) 1 K1 1 K1
(M+ N)* 180O = -[2q+1]*180O M+ N= 2q+1



( S a Z 1 ) 180 (S a (S a

幅角为零的零、极点在实轴上试验点左边 共轭零、极点的幅角其和为零 实轴上试验点右边的零、极点其幅角为180°
要判断实轴上的 某点Sa是不是根轨迹上的点，只要计算 一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件
P 3 ) 180 P 4 ) 180
1 G (s)H (s)
G (s)H (S )
1
m
G ( s ) H ( S ) 180 （ 2 q 1 ), q 0 ,1 , 2
m

0
K 1 (S G ( S ) H （ S ）
j1 n
Z j) 1
K ( G ( S ) H （ S ）
j1 n
z2
根据绘制根轨迹的两个基本条件， 演绎出八条绘制根轨迹的基本规则； 根据这些规则绘制根轨迹不必计算 特征根而只要做简单的计算和判断。
根轨迹法 二、 绘制根轨迹的基本规则 规则一 根轨迹连续且对称于实轴
因为K1连续变化；系数为实数，有复根必共轭
规则二
m
根轨迹起始于开环极点，终止在开环零点
(S
j1 n
共轭复根 两根对称
∞ - 4+j∞ - 4-j∞
16
K
实根 -ζω<0
根轨迹如下：
根轨迹可以提供有关 系统性能的信息
根轨迹提供的信息： 1、K1从0→∞变化，根轨迹不 会进入右半平面。即：无论 如何该系统是稳定的 2、K1>16，根轨迹进入复平面。 即：此时系统阶跃响应会振 荡（ωd不为零） ； K1越大 振荡越厉害（ζ小）、振荡 频率越高（ωd大） 3、K1=16 时系统阶跃响应临 界振荡
规则三
实轴上的根轨迹

P5 Z2 P2 Sa P4 Z1 P3 0
例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的 某点Sa是不是根轨迹上的点

各开环零、极点的幅角： (Sa Z 2 ) 0 观察左边等式有如下结论：
(S a (S a (S a P 5) 0 P1 ) 1 P2 ) 2
|S
i1 m
-
Pi |

幅角条件
z1
d P2 b a Sa
j

j1
(S
Z j)

i1
(S

Pi) (2q 1) * 180

左例：幅值应满足： a b 1
c d

c
k1

幅角应满足：

P1
1 2 3
4
( 2 q 1 )180
实轴上的某一点如果在根轨迹上， 那麽，在它右边的零、极点总数 应为奇数个。 ——规则三 根 轨 迹 法
设实轴上试验点右边有 M个零、N个极点，根据幅角条件则有： M*180O - N* 180O = -(2q+1)180O 两边同时加上 得 得 2N* 180O 即M+ N为奇数
P1 j Sa P5 Z2 P2 P4 Z1 P3 0
§4-2 绘制根轨迹的 基本条件和基本规则
一、 绘制根轨迹的基本条件
系统闭环特征方程为：
D （ S ） 1 G ( s ) H ( s )
R (s)
G (s)
H (s)
G (s)
C (s)
系统闭环特征方程的根为：
1 G (s)H (S ) 0 G (s)H (S ) 1
G B (s)
zj
S

Z j) 1
(S
i1

Pi)
(
i1
pi
S

Pi)
绘制根轨迹的两个基本条件 :
幅值条件和幅角条件
m
幅值条件
|S
j1 n

Zj | 1 K1
n
由 于 S 是 复 数 ， 所 以 D(s) 也是复数；上式两边的幅 值和幅角应分别相等；从 而，得到绘制根轨迹的两 个基本条件：幅值条件和 幅角条件
Z j) Pi) 1 K1
(S
i1
以 K1 为参变量的根轨迹： 是K1 从0(起点)到(终点)变化时 系统闭环极点在根平面上的轨迹 起点和终点确定方法如下页：
m
(S
j 1 n
Z j) Pi) 1 K1
(S
i1
根轨迹法
K1从0→∞变化，根轨迹起点在K1=0处
不妨假设极点p1,p2,…,pm;分别终止在z1,z2,…,zm 那麽，余下n-m个极点只能是S→∞ 即：终止在无穷远处 例如，上一节的二阶系统例子
由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：
m n

j 1
(S

Z j)

i 1
(S

Pi) (2q 1) * 180

根轨迹法
P1 j
第四章 线性系统的根轨迹分析
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 广义根轨迹 §4-4 迟后系统的根轨迹 §4-5 利用根轨迹分析系统的性能
§4-1 根轨迹的基本概念
例：已知单位反馈系统开环传递函 数，求K1从0→∞变化时，系统闭 环根轨迹
解：系统闭环特征方程为：D(s)=S2+8S+K1=0 特征根为： S1,S2= - 4 ±
16 K 1
K s(s 8)
当K1从0到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连 续曲线 - 系统闭环根轨迹
根 S1= - 4 + S2= - 4 16
K1
K
1 1
0 0 -8
0 → 16 0 →- 4 - 8→ - 4
16 - 4 - 4
重 根
16 → ∞ - 4 + j K 1 16 - 4 - j K 1 16