极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求 C i , C 的极坐标方程；n(2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积.解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2，C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0.n(2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2.1由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(1) 写出C 的参数方程；(2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.x = X 1,解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得c y = 2y 1,由 X 1 + y 2= 1 得 x 2+ 2y 2= 1. 即曲线C 的方程为x 2+y4 = 1.x = cos t ,故C 的参数方程为 (t 为参数).y =2sin t不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?,⑵由 y 2x 2+4 = 1, 4解得2x + y — 2 = 0x = 1, y = 0x = 0, y = 2.1 1于是所求直线方程为y — 1 = 2 x —2 •化为极坐标方程，并整理得2 p cos 9 — 4 psin 9 = — 3,即 P =3 .4sin 9 — 2cos 9⑵（2015吉林长春二模，23, 10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为n极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为pcos 9—㊁=1, M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点.① 写出曲线C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标； ② 设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.【解析】 ⑴将2 pcos 2 9 = sin 9两边同乘以p,得2（ pcos 9 ）2= pin 9，化为直角 坐标方程为2x 2= y ，①C 2： pcos 9 = 1化为直角坐标方程为x = 1，②x = 1，联立①②可解得y = 2，所以曲线C 与C 2交点的直角坐标为（1，2）.x= pcos 9 , 1 又 二 Zx + y= psin 9 , 2即曲线C 的直角坐标方程为x+，3y — 2= 0. 令 y = 0,则 x = 2;令 x = 0,则 y = 2^3.••• M(2, 0), N 0,穿.n⑵①••• pos 9 —-3- =1,n p cos 9 - cosy + psin 9 n・ siny =1.1,••• M的极坐标为(2, 0), N的极坐标为^^3,专.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C i : x 2+ y 2 = 4,圆 C 2： (x — 2)2 + y 2系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.②M , N 连线的中点P 的直角坐标为1,身,n• ••直线0P 的极坐标方程为 归—(p€ R).注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐 标问题求解，再转化为极坐标.x = 4+ 5cost ,(2013课标I, 23, 10分)已知曲线C 的参数方程为(t 为参数)，以坐y = 5+ 5si n t标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为p= 2sin 9 .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；⑵求C 1与C 2交点的极坐标(p 》0 ow 9 V 2n ).x =4+ 5cos t ,【解析】 ⑴将 消去参数t ，化为普通方程为(x -4)2 + (y — 5)2 = 25,y = 5+ 5s in tx= pcos 9 ，小 c将 代入 x 2 + y 2— 8x — 10y + 16= 0，得p 2— 8 pcos 9 — 10 psin 9 + 16 = 0.所以C 1的极坐标方程为p 2— 8 pcos 9 — 10 psin 9 + 16= 0.⑵C 2的普通方程为x 2 + y 2 — 2y = 0.联立C 1，C 2的方程 x 2 + y 2 — 8x — 10y + 16=0,解得x = 1, y = 1x = 0,或 ’ y =2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为［2, n ， 2, n2 .【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、 极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关（1） 在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i,C 2的极坐标方程,并求出圆C i ，C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（2） 求圆G 与C 2的公共弦的参数方程.x= pos 0,解：（1 ）由y = pin 0 ,知圆G 的极坐标方程为2,圆C 2的极坐标方程为 尸4cos 0 . x 2 +y 2二 Pi i n n 故圆C 1与圆C 2的交点坐标为2, "3 , 2,——.注：极坐标系下点的表示不唯X= pos 0- -得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为（1,百），（1,—書）y= pin 0X =1, L L 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 （一3< t < 3）.y =tx — 1 , L厂或参数方程写成 —• 3平3y — y ,x — pcos 0 , 方法二：将x — 1代入 y — pin 0 ,1得如0—1从而尸cos ?.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x — 1, y — tan 05. （2015河北邯郸二模，23, 10分）已知圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0，直线I 的1 套x —2 + 2 t ， 逼 n参数方程为（t 为参数），点A 的极坐标为-7,—，设直线l 与圆C 交于点P , 1 1 2 4 y —2+2t（2）方法一：由 p= 2,冗(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C i : x 2+ y 2 = 4,圆 C 2： (x — 2)2 + y 2(1)写出圆C 的直角坐标方程；⑵求|AP| |・AQ 的值.解：(1)因为圆C 的极坐标方程为p= 2cos 9 , 所以 2 pcos 9 , 将其转化成直角坐标方程为x 2 + y 2 = 2x , 即(x — 1)2+ y 2= 1.⑵由点A 的极坐标专,n 得直角坐标为A 2，1._ 1丄盟X — 2 + 2 t ，将直线I 的参数方程(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x — 1)2+ y 2— 1,1 1 y —2+2t得t 2—设t 1, t 2为方程t 2— 32 11 —2 — 0的两个根，贝U t 1t 2— — 2，1所以 |AP| |・AQ| — | t 1t 2| — ^.x — tcos a ，2. (2015课标U ，23，10分，中)在直角坐标系xOy 中，曲线 0:(t 为y — tsin a ，参数，t 旳)，其中OWaVn .在以0为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2: p—2sin 9， C 3: p — 2 3cos 9 .(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；⑵若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值. 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+ y 2 — 2y — 0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2 3x — 0.x 2+ y 2— 2y — 0， x 2+ y 2— 2 3x — 0，Q. 0.=0, x= 2，解得或y= 0 3所以C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)和冷，2 .⑵曲线G的极坐标方程为0= a p€ R, pH 0,其中0Wx< n . 因此A的极坐标为(2sin a ,a ), B的极坐标为(2 3C0S a , a ).所以| AB| = |2sin a — 2 3cos a |n=4 sin a —.5 n当口=肓时，|AB|取得最大值，最大值为4.1 x= 3 +2上,3.(2015陕西，23, 10 分,易)在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(t为参数),以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为p= 2 3 sin0 .(1)写出O C的直角坐标方程；(2)P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：⑴由p= 2.3sin 0，得p 2 = 2 寸3 p sin 0 ,从而有x2+2 . 3y,所以x2+ (y—3)2= 3.(2)设P3 +1, ，又C(0, 3),故当t = 0时，|pq取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).则|PC = 3 + ；t 2+ 23t —；3 2= t2+ 12,5.(2014课标U, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正n半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p= 2cos 9，9 € 0,(1)求C的参数方程；⑵设点D在C上, C在D处的切线与直线I: y= 3x+ 2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标.解：⑴C的普通方程为(x—1)2+ y2= 1(0手w 1)x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数，owt<n ).y= sin t(2)设D(1 + cos t, sin t)•由(1)知C是以G(1, 0)为圆心，1为半径的上半圆•因为 Cn 在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同，tan t =空，n n 3 1/3故D的直角坐标为1 + cos , sin~3，即2，.x= 2cost,7. (2013课标U, 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C: (t为参数)y= 2s in t上，对应参数分别为t =口与t = 2 o(0<a<2 n ), M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；⑵将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有P(2cos a , 2sin a ), Q(2cos 2a , 2sin 2a ),因此M(cos a + cos 2a , sin a + sin 2a ).M的轨迹的参数方程为X= cos a + cos 2a , . .c (a为参数，0<a <2n ).y= sin a + sin 2a(2)M点到坐标原点的距离d = i；：x2 + y2 =育 2 + 2cos a (0< a<2 n ).当a=n时，d= 0,故M的轨迹过坐标原点.x 2 y 2x = 2 +1,（2014课标I, 23, 10分）已知曲线C: 7 +专二1•直线I :» （t 为参数）•y = 2 — 2t（1）写出曲线C 的参数方程，直线I 的普通方程；⑵过曲线C 上任意一点P 作与I 夹角为30°的直线，交I 于点A ，求|PA 的最大值与最小值.【思路导引】 （1 ）由基本关系式可消参求出普通方程；（2）把|PA 用参数9来表示， 从而求其最值.x= 2cos 9，【解析】（1）曲线C 的参数方程为 门■（9为参数）.y= 3sin 9直线I 的普通方程为2x + y — 6 = 0.⑵曲线C 上任意一点P （2cos 9，3sin 9 ）到I 的距离为d= ~5|4cos 9 + 3sin 9 — 6|.（2013辽宁，23，10分）在直角坐标系xOy 中，以0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系.圆G ，直线C 2的极坐标方程分别为p= 4sin 9， p cos 9 —亍=2 2.（1）求Ci 与C 2交点的极坐标；⑵设P 为C 的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为 x =t 3+ a ，b 3 （t € R 为参数），求a ，b 的值. y =尹+1【解析】（1）圆G 的直角坐标方程为x 2+ （y — 2）2=4, 直线C 2的直角坐标方程为x + y — 4 = 0._d_sin2.55|5sin( 9+ M — 6|，其中 a 为锐角，且tan 43.当sin （9+ a ）=— 1时，I PA 取得最大值，最大值为22 5 5当 sin(9+1 时, |PA 取得最小值，最小值为2、55n t —n所以C i 与C 2交点的极坐标为4,㊁，2 2,4 .注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0, 2)，(1, 3).故直线PQ 的直角坐标方 程为 x — y + 2= 0.由参数方程可得 y = b (x — a) + 1 = |x — ab+ 1,解得 a = — 1, b = 2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.x= 2COS a ,2011课标全国，23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为y = 2+2sin a (a 为参数),M是C 上的动点，P 点满足OP = 2OM , P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程;n ,⑵在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线B=E 与C 1的异于极点的 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB|. 解:⑴设 P(x , y), 则由条件知M 2, 2 .2 = 2COS a ,2 = 2 + 2sin a ,x = 4COS a , 即 y=4 + 4sin a .X = 4C0S a ,从而Q 的参数方程为尸4+ 4sin a (a为参数)•(2)C i 化为普通方程为x 2 + (y —2)2 = 4,故曲线C i 的极坐标方程为p= 4sin B ,同理可 得曲线C 2的极坐标方程为 尸8sin 9 .nx 2+( y — 2) 2= 4, x +y —4=0x i = 0, y i =X 2= 2, y 2= 2.所以b = 2= 1,-ab +1=2,由于M 点在C 1上，所以射线与C i的交点A的极径为2 3,n射线0="3与C2的交点B的极径为8sin§ = 4 3.所以| AB| = | p —p i| = 2 3.』n5.(2014辽宁锦州一模，23, 10分)已知圆的极坐标方程为p2—4 2 pcos( 9— "4)+ 6 =0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x, y)在该圆上，求x+ y的最大值和最小值.解：(1)原方程变形为p2—4pcos 9 — 4 psin 9 + 6 = 0,化直角坐标方程为x2+ y2—4x —4y+ 6= 0,即(x—2)2+ (y—2)2= 2.X= 2+V^COS a ,(2)设圆的参数方程为- (a为参数)，点P(x, y)在圆上，y= 2+寸2s in a”n贝U x+ y= 4+ 2sin a + ~ .所以x+ y的最大值为6,最小值为2.6.(2015 山西太原联考，23, 10分)已知平面直角坐标系xOy,以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2 3, nn，曲线C的极坐标方程为p+ 2 ,3 p sin 9 = 1.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;x= 3+ It,⑵若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线I:」y= —I +1 小值.解：(1)点P的直角坐标为(3, 3).由p+1 3 p sin 9 = 1,得x I + y I +1 3y = 1,即x + (y+ 3)I•••曲线C的直角坐标方程为x2+ (y+ .3)2= 4.⑵曲线C的参数方程为x= Icos 9 ,(9为参数)，直线I的普通方程为x—Iy—7 = 0.y=— .3+ Isin 9设Q(2cos 9 , - .3 + 2sin 9 ),3则M |+ cos 9 , sin 9，那么点M到直线I的距离为|+ cos 9 - 2sin 9 - 7d = ；1I +I I11cos 9 - — Isin 9 -5,5sin( 9—©) +11511—5+3 111,,5 =10 —•••点M到直线I的最小距离为— 1.(t为参数)距离的最。