若为A的属于特征值的一个特征向量， 齐次线性方程(I A)X 0有非零解 ,
I A 0.
设 A 0 是 I AX 0 的非零解.
求A的特征值与特征向量的步骤：
(1) 求 I A 0 相异的根：1, 2 , , k ;
(2)求 i I AX 0 的基础解系：
i1 ,i2 , , iri ,
（k1, k2 , , kn不 全 为 零 ）
பைடு நூலகம்
例 设矩阵 A 可逆, 且 A 0,
求 A1 与 A 的特征值与特征向量.
解 A1A A1 A1
A1A
若 0 ，则 0 , 矛盾. 0 , A1 1 .
又 AA A I , A A A1 ,
A
A A1
1 2 2
例
A 2
2
4
,
求A的特征值与特征向量.
2 4 2
1 2 2 1 2 2 解 I A 2 2 4 2 2 4
2 4 2 0 2 2
1 4 2
2 6 4 2 1 4
0 0 2
2 6
22 7
1 2 (二重）, 2 7.
求 1 2的特征向量, 1I AX 0, 即
当2 1二重时，齐次线性方程组为 I AX 0
I
A
2 4
1
1 2 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1
2 0
1 1 0
A
4 1
3 0
0 2
x1 x3
x2
2 x3
1 得基础解系 p2 2 1
k2 p2(k2 0 常数)是对应于2 3 1的全部特征向量.
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和全部特征向量.
解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
1 1 0 I A 4 3 0 ( 2)(2 2 1)
1 0 2
特征值为 1 2, 2 1二重.
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组
I AX 0 求非零解.
5.1.1 特征值与特征向量的定义
定义 设 A 是 n 阶方阵，
若存在数 和 n 维非零列向量，使得 A
成立，则称 是方阵A的一个特征值，
为方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
例
A
3 1
31 ,
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A 22 2 ,
A 44 4 ,
是方阵A的对应于特征值的所有特征向量
以 及 零 向 量 所 组 成 的 集合,
故 V 是 n 维向量空间Rn 的子空间 . V 称为矩阵 A 的特征子空间.
思考：V 的所有向量都是A的特征向量吗？
5.1.3 特征值与特征向量的计算
A , ( 0) ( A I ) 0或(I A) 0
特征向量是齐次线性方程组 (λI - A) X = 0 的解 因此，(λI - A) X = 0 的解空间就是A 的特征子空间
当1 2 时，齐次线性方程组为 2I AX 0
系数矩阵
2I
A
3 4
1
1 1 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 0
1 1 0
A
4 1
3 0
0 2
自由未知量 x3
0
x1 x2 0
令 x3
1得基础解系
p1
0 1
k1 p1(k1 0常数)是对应于1 2的全部特征向量.
5.1.2 特征子空间
设 V | A , Rn
是方阵A的对应于特征值的所有特征向量
以 及 零 向 量 所 组 成 的 集合,
1. 设 A , 则
A k kA k k .
2. 设Ai i i 1,2, 则
A1 2 A1 A2
1 2 (1 2 ).
设 V | A , Rn
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值 2，4 的 特 征 向 量,
A 3 k .
1
不是A的特征向量.
例 设 A2 = A , 证明：A 的特征值为 0 或 1 .
证 设 A 0
则 A2 AA A A 2
2 , 2 0
0 或 1.
A
.
例 设为矩阵 A 的特征值, 求 A2 2A I 的特征值；
1 2 2 x1 0 2 4 4 x2 0 . 2 4 4 x3 0
系数矩阵
1 2
2
2 4 4
2 4
1 0
4 0
2 0 0
2
0 , x1 2x2 2x3
0
基础解系为：1 2, 1, 0T ，2 2, 0, 1T .
特征向量为：k11 k22 k1, k2 不全为零.
则A对应于i的特征向量为： k1i1 k2i2 kriri
k1, k2 , , kri 不全为零 .
定义
Ann
aij
,
nn
a11 I A a21
a12
a22
an1 an2
a1n a2n
ann
是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式,
记为 f (λ)， f ( ) I A 0 称为矩阵A的特征方程,
求2 7的特征向量,
8 2 2
1 0 1
2
2I A 2 5 4 0 1 1
2 4 5
0
0
0
x1
1 2
x3
x2 x3 ,
基础解系为：3 1, 2 , 2T ,
特征向量为 k33 k3 0.
重要结论：
1. 特征值的代数重数大于等于它的几何重数. (知道结论即可)
2. 对角矩阵及三角矩阵的特征值为其主对角元.
例 求数量矩阵 aIn 的特征值和特征向量.
解 可 知数a为 数量 矩 阵aIn的n重 特征 值.
(In A) X (aIn aIn ) X 0
因此，所有n维非零向量都是此数量矩阵的 特征向量，即特征向量可表示为
k11 k2 2 kn n
特征方程 的根就是特征值,也称为特征根.
例
设 f | I A | 1 22
3
5,
1：A的单特征根， 2：A的二重特征根， 5 : A的三重特征根.
定义 特征值λ的重数称为λ的代数重数；
特征值λ所对应的齐次线性方程组(λI - A) X = 0 的基础解系所含解向量的个数称为λ的几何重数， 即特征值所对应线性无关特征向量的个数.