特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念及其计算
定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，是一个未知量，
称为A的特征多项式，记()=| E-A|，是一个P上的关于
的n次多项式，E是单位矩阵。
()=| E-A|=n+1n-1+…+n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。
特征方程()=| E-A|=0的根 (如：0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A 有关，与数域P也有关。
以A的特征值0代入 (E-A)X=，得方程组 (0E-A)X=，是一个齐次方程组，称为A的关于0的特征方程组。
因为
|0E-A|=0，(0E-A)X=必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于
的特征向量全体构成了0的特征向量空间。
0的特征向量。
所有0
一.特征值与特征向量的求法
对于矩阵A，由AX=0X，0EX=AX，得：
[0E-A]X=即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是：
即说明特征根是特征多项式 |0E-A| =0的根，由代数基本定理
有n个复根1, 2,…, n，为A的n个特征根。
当特征根i(I=1,2,…,n)求出后，(i E-A)X=是齐次方程，
|i E-A|=0，(i E-A)X=必存在非零解，且有无穷个解i均会使
向量，(i E-A)X=的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程
解得A有2重特征值1=2=-2，有单特征值3=4
对于特征值1=2=-2，解方程组 (-2E-A)x=
得同解方程组 x1-x2+x3=0
解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)
分别令自由未知量
得基础解系
所以A的对应于特征值1=2=-2的全部特征向量为
x=k 11+k 2 2 (k1,k2不全为零)
可见，特征值=-2的特征向量空间是二维的。
注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数特征根的重数。
对于特征值3=4，方程组 (4E-A)x=
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=2 得基础解系
所以A的对于特征值3=4 得全部特征向量为 x= k 3 3例2.求矩阵的特征值与特征向量
解：由特征方程
解得A有单特征值1=1，有2重特征值2=3=0
对于1=1，解方程组 (E-A) x =
得同解方程组为
同解为
令自由未知量 x3=1，得基础解系
所以A的对应于特征值1=1的全部特征向量为 x=k 1 1 (k 10) 对于特征值2=3=0，解方程组 (0E-A)=
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=1，得基础解系
此处，二重根=0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<特征根的重数，这种情况下，矩阵A 是亏损的。
所以A的对应于特征值2=3=0 得全部特征向量为 x=k 2 3
例3．矩阵的特征值与特征向量
解：由特征方程
解得A的特征值为1=1, 2=i, 3=-i
对于特征值1=1，解方程组 (E-A)=，由
得通解为
令自由未知量 x1=1，得基础解系1=(1,0,0)T，所以A的对应于特征值1=1得全部特征向量为 x=k 11
对于特征值2=i，解方程组 (iE-A)=
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=1，得基础解系2=(0,i,1)T，所以A对应于特征值2=1的全部特征向量为 x=k2 2 (k20)。
对于特征值3=-i，解方程组 (-E-A)x=，由
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=1，，得基础解系3=(0,-i,1)T，所以A的对应于
的全部特征向量为 x=k33。
特征根为复数时，特征向量的分3=-i
量也有复数出现。
特征向量只能属于一个特征值。
而特征值i的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组 (i E-A)x=的非0解。
其中，方程组(i E-A)x=的基础解系就是属于特征值i的线性无关的特征向量。
性质1. n阶方阵A=(a ij)的所有特征根为1，2，…, n(包括重根)，则
证第二个式子：
由伟达定理，12…n=(-1)n n
又 |E-A|=n+1n -1+…+n-11+n中用=0 代入二边，得：
|-A|=n，而 |A|=(-1)n n= 12…n，
性质2. 若是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
证：
可见是A-1的一个特征根。
其中0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若i=0,
|A|= 12…n=0，A奇异，与A可逆矛盾。
性质3. 若是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则
m是A m的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
证：1) Ax=x，二边左乘A，得：A2x=A x=Ax=x=2x，可见 2 是 A2 的特征根；
2) 若m 是 A m 的一个特征根，A m x= m x，
二边左乘A，得：A m+1x=AA m x=A m x=m Ax=m x=m+1x，
得m+1是A m+1的特征根
用归纳法证明了m 是 A m 的一个特征根。
性质4. 设1，2，…, m是方阵A的互不相同的特征值。
x j是属于i的特征向量( i=1,2,…,m)，则 x1,x2,…,x m线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。
性质4可推广为：设1，2，…, m为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于1的线性无关特征向量，……，
x m1,x m2,…,x m,k1是属于m 的线性无关特征向量。
则向量组
x11,x12,…,x1,k1,…, x m1,x m2,…,x m,k1也是线性无关的。
即对于互不相同
特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。