模块综合检测第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题：“若b 2－4ac<0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根”的否命题是( )A ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根B ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根C ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根D ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根 答案 C解析 把命题的条件和结论都进行否定后所得命题是否命题，条件b 2－4ac<0的否定是b2－4ac ≥0，结论“没有实数根”的否定是“有实数根”．2．(2019·天津，理)设x∈R ，则“x 2－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由x 2－5x<0可得0<x<5.由|x －1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．3．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 答案 C4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54答案 B5．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB′→，CM →〉的值为( )A.12B.21015C.23D.1115答案 B 解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B ′(1，1，1)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，∴DB ′→＝(1，1，1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.故cos 〈DB′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋02＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.6.如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则C ，D 两点间的距离为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．2 答案 B 解析用向量知识求距离，也就是利用|a |2＝a 2求向量的模．如图所示，过点D 作DD ′⊥平面α于D ′，连接BD ′，则∠DBD ′＝30°.∵BD ＝1，∴BD ′＝32， DD ′＝12.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD ′→＋D ′D →＝AB →＋BD ′→＋DD ′→，∴|CD →|2＝AB →2＋BD′→2＋DD ′→2＋2AB →·BD ′→＋2BD ′→·DD ′→＋2AB →·DD ′→＝1＋34＋14＝2.∴|CD →|＝2.7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≥－2；p 2：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≥2； p 3：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≤3； p 4：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C 解析 本题可先画出可行域，然后根据图形求解．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.(y＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距)结合题意知p 1，p 2正确．8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则与DB 1→共线的向量坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1，1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)答案 C解析 设正方体棱长为1，则D(0，0，0)，B 1(1，1，1)． ∴DB 1→＝(1，1，1)，与DB 1→共线的向量为(2，2，2)．9．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则双曲线的离心率e 等于( )A ．5B.5C.52D.54答案 C解析 由题意知b a ＝12.∴a2＝b.由c 2＝a 2＋b 2＝54a 2，∴e ＝c a ＝52aa ＝52.10．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线是直线l ，则点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0，2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0，2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172，选A. 11．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是a ，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 到平面AB 1D 的距离是( )A.24a B.28a C.324 aD.22a 答案 A解析 ∵四边形ABB 1A 1是正方形，∴A 1B ⊥AB 1.又平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1，∴A 1B ⊥平面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，则点C 到平面AB 1D 的距离为d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·（A 1A →＋AB →）|2a ＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a＝|0＋a·a·cos60°|2a＝24a.12．如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于点A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率是( )A.54B.53C.510D.154答案 B解析 因为AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22， ∴|AF 2|＋|AP|－|PF 2|2＝22，即|AF 2|＋|AP|－（|AF 1|＋|AP|）2＝22.∴|AF 2|－|AF 1|＝ 2.又|AF 2|2＋|AF 1|2＝10，∴|AF 2|＋|AF 1|＝3 2. ∴e ＝|F 1F 2||AF 2|＋|AF 1|＝1032＝53.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(1－t ，1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 |b －a |2＝(b －a )2＝(1＋t)2＋(2t －1)2＋0＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥95. ∴|b －a |的最小值为35＝355. 14．方程(x ＋y ＋1)·x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是________．答案 圆x 2＋y 2＝4与直线x ＋y －1＝0在该圆外(包括边界)的部分15．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥6，2x －y≥0，表示的平面区域为D.命题p ：∃(x ，y )∈D，2x ＋y≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D，2x ＋y≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p∨q ③p∧綈q ④綈p∧綈q这四个命题中，所有真命题的编号是________(填上所有正确结论的序号)． 答案 ①③ 解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p∨q 和p∧綈q 正确．方法二：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p∨q 和p∧綈q 正确．所以答案为①③. 16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥平面CB 1D 1；③异面直线AC 与A 1B 成60°角；④AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是 2. 答案 ①②③解析 对于①，BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面CB 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1，∴BD ∥平面CB 1D 1，①正确；对于②，∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1，连接A 1C 1，又A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理B 1C ⊥AC 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，②正确；对于③，易知AC∥A 1C 1，异面直线AC 与A 1B所成的角为∠BA 1C 1，连接BC 1，又△A 1C 1B 为等边三角形，∴∠BA 1C 1＝60°，异面直线AC 与A 1B 成60°角，③正确；对于④，AC 1与底面ABCD 所成的角的正切值是CC 1AC ＝12＝22≠2，故④不正确．故正确的结论为①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交．”q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根．” 若p 或q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围． 解析 ∵p∨q 为真，綈p 为真， ∴p 假q 真．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，（x －1）2＋y 2＝1，得 2x 2－2(1＋m)x ＋m 2＝0.若p 假，则Δ＝4(1＋m)2－4×2×m 2≤0.∴m ≥1＋2或m ≤1－ 2.若q 真，则⎩⎨⎧m≠0，m －4m <0.∴0<m<4.∴p 假q 真时，1＋2≤m<4.∴m 的取值范围是[1＋2，4) 18．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面所成的角是30°，∠BAD ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝a ，AB ＝2a.若AE⊥PB 于E ，求证：DE⊥PB.证明以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与底面ABCD 所成的角． ∴∠PBA ＝30°，∴PA ＝233a.A(0，0，0)，B(2a ，0，0)，D(0，a ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，233a ，∴AD →＝(0，a ，0)，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a .∵AD →·PB →＝(0，a ，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a ＝0，∴PB ⊥AD ，又PB⊥AE，∴PB ⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE.19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T(3，0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解析 (1)令直线l 与抛物线两个交点A 、B 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)；由于直线l 过点T(3，0)，从而有TA →∥TB →，再有TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)． 可得(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2代入上式y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3＝0.显然交点A 、B 的纵坐标不可能相等，只有y 1y 22＋3＝0⇒y 1y 2＝－6.同时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝9－6＝3. 所以命题为真命题．(2)逆命题为：“如果OA →·OB →＝3，则直线l 过点T(3，0)”．由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝3.可得y 1y 2＝2或y 1y 2＝－6. 又TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)， 若TA →∥TB →⇒(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.而x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3.显然当y 1y 2＝－6时使得“直线l 过点T(3，0)”； 而当y 1y 2＝2时“直线l 不过点T(3，0)”． 所以该命题是假命题．20．(12分)(2019·课标全国Ⅲ，理)图(1)是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图(2)．(1)证明：图(2)中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE. (2)求图(2)中的二面角B －CG －A 的大小．解析 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG ∥BE ，所以AD∥CG，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB ⊥BC ， 故AB⊥平面BCGE. 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE⊥平面ABC ， 所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°.可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)． 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32z ＝0，2z －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝32.因此，二面角B －CG －A 的大小为30°.21．(12分)已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解析 (1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos60°)，从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22，从而b ＝2.故椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x2＋4k(k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)4k （k －2）2k 2－8k ＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142， 得k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4. 22．(12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点． (1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E －BF －C 的正弦值．解析 (1)证明：方法一：如图，过E 作EO⊥BC，垂足为O ，连接OF.(1)由题意得△ABC≌△DBC， 可证出△EOC≌△FOC.所以∠EOC＝∠FOC＝π2，即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO ∩FO ＝O ， 因此BC⊥平面EFO.又EF ⊂平面EFO ，所以EF⊥BC.方法二：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)．因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF⊥BC.(2)方法一：如图(1)，过O 作OG⊥BF，垂足为G ，连接EG. 由平面ABC⊥平面BDC ， 从而EO⊥平面BDC.又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF.因此∠EGO 为二面角E －BF －C 的平面角，在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32，由△BGO∽△BFC，知OG ＝BO BC ·FC＝34.因此tan ∠EGO ＝EO OG ＝2，从而sin ∠EGO ＝255，即二面角E －BF －C 的正弦值为255.方法二：如图(2)，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)．(2)设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E －BF －C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.。