第一章 导数及其应用1.2 导数的计算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若()2cos 2f x x x =+，则函数()f x 的导函数()f 'x = A ．2sin 2x -B ．sin 2x x -C ．sin 2cos2x x x +D ．cos22sin 2x x x -【答案】D【解析】由题意得()cos 2(cos 2)cos 22sin 2f 'x x x x x x x x ''=+=-，故选D ． 2．已知e e ()x f x x -=+的导函数为()f 'x ，则1()f '=A ．1e e -B ．1e e+ C ．11e+D ．0【解析】因为1ee (e )e xx f x x x -=+=+，所以()1e e x 'x f =-+，所以1e(1)e f '=-+，故选A ． 3．已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)--B ．(1,1)--C ．(2,8)--或(2,8)D ．(1,1)--或(1,1)【答案】D【解析】由3()f x x =可得2()3f x x '=，令233x =，则1x =±，故P 点的坐标为(1,1)--或(1,1)．故选D ．4．下列函数求导运算正确的个数为①333l ()og e x x'=；②21()g ln o 2l x x '⋅=；③(e e )x x'=；④1()ln 'x x=；⑤e e e ()x x x x x '=+． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】(3)3ln 3xx'=，211()ln (ln )x x x '=-，正确的为②③⑤，共3个．故选C ． 5，则(1)f '等于 A ．2 B ．12- C ．14-D ．14【答案】C【解析】令1t x =，则1x t =C ．6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 7．已知曲线32()2f x x ax =-+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则实数a =A ．2-B ．1-C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可得2()32f x x ax '=-，所以(1)32f a '=-，因为曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，所以3(1)tan14f π'==-，所以321a -=-，解得2a =．故选C ． 8．若2()24ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为 A ．(0,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(2,)+∞D ．(1,0)-【答案】C【解析】要使函数有意义，则0>x ，∵2()24ln f x x x x =--，若()0f x '>，则04222>--xx x ，即022>--x x ，解得2>x 或1-<x （舍去），故不等式()0f x '>的解集为(2,)+∞，故选C ．9．函数c (s )e o x x f x =+的图象在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A ．2 B ．4 C ．12D ．32【答案】A【解析】由题可得e s (n )i x'x f x =-，所以)1(0f '=．又2(0)f =，所以曲线()f x 在0x =处的切线方程为2y x -=，即20x y -+=．令0x =可得2y =；令0y =可得2x =-，所以切线与两坐标轴围A ． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．若函数2()sin f x x x =，则()f x '=________________．【答案】22sin cos x x x x +【解析】由2()sin f x x x =可得222()()sin (sin )2sin cos f x x x x x x x x x '''=+=+．11．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =________________．【答案】e【解析】由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．12．若函数()ln 2f x x x =+在点00,()()x f x 处的切线的斜率为3，则0()f x =________________．【答案】2【解析】由题可得1()2f x x '=+，令01()23f x x '=+=，解得01x =，所以0()(1)2f x f ==． 13．曲线2ln y x =在点2(e ,4)处的切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为________________．【答案】2e【解析】由题可得2y x '=，故切线l 的斜率为22e ，切线l 的方程为2224(e )e y x -=-，即222ey x =+，令0x =得2y =，令0y =得2e x =-，所以切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为2212e e 2⨯⨯=．14．设曲线1()n y x n +*=∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+=________________．【答案】2-【解析】导函数nx n y )1(+='，切线斜率1|1x k y n ='==+，所以切线方程为n x n y -+=)1(，可求得切线与横轴的交点为)0,1(+n n ，则)1lg(lg 1lg +-=+=n n n n a n ， 所以1299a a a ++⋅⋅⋅+(lg1lg 2)(lg 2lg3)(lg99lg100)lg1lg1002=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的导数：（1）2311()y x x x x=++； （2）cos xy x=； （3）3e 2e xxxy =-+；（4）2sincos 22x x y x =-． 【答案】（1）2323y x x '=-；（2）2sin cos x x x y'x+=-；（3）ln 31(3e)2)ln 2(x xy'=+⋅-；（4）y '= 12cos 2x x -．【解析】（1）因为2332111()1y x x x x x x =++=++，所以2323y x x'=-．（2）222cos (cos )cos sin cos sin cos ()x x x x x x x x x x xy x x x x'''⋅-⋅-⋅-+'====-． （3）(3e )(2)e x x xy''''=-+)((3e 3e )(2)x x x x x ''=+-' 3ln 3e 3e 2ln 2x x x x x =⋅+-ln 31(32)2(e)ln x x =+⋅-．（4）因为221sin cos sin 222x x y x x x =-=-，所以12cos 2y x x '=-． 16．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．【答案】（1）3()f x x x=-；（2）证明见解析，该定值为6． 【解析】（1）由74120x y --=得734y x =-．当2x =时，12y =，则1(2)222b f a =-=①．又2()b f x a x '=+，则7(2)44b f a +='=②．由①②得4147a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩，故3()f x x x =-．（2）设00(),P x y 为曲线上任一点，由231y x'=+，知曲线在点00(),P x y 处的切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-， 即0020033()(1)()y x x x x x --=+-． 令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为6(0)x -，； 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00)2(2x x ，， 所以点00(),P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为0016|||2|62x x -⋅=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值， 此定值为6．。