D1
A1
z
B1
C1
F
D
E
B
C
y
x
A
利用向量解决立体几何问题的三步曲：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面. （化为向量问题） ②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关 系以及它们之间的距离和夹角的问题. （进行向量运算） ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形）
b ( a 2 , b 2 , c 2 ). n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 ③建立方程组 a x b y c z 0 n b 0 2 2 2
④解方程组，利用赋值法，给 x, y, z 中的一个变量 赋一特值.
量为 n (2 ,0 ,3 ).
(4)直线 l 的方向向量为 a (3, 2,1), 为 n (1, 2, 1).
平面 的法向量
例2：如图，已知正方体
ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
E , F分别是 BB1 , DD1的中点.
证明： FC1∥平面 ADE.
探究：
直线可以用方向向量进行描述，平面呢？
问题1：经过定点A且与向量 n 平行的平面有几个？ 问题2：经过定点A且与向量 n 垂直的平面有几个？
定义：
直线 l , 取直线 l 的方向向量 n , 则向量 n 叫作 平面 的法向量. l

思考：平面的法向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
练习：如图所示，正方体的棱长为1. （1）平面 ABCD 的一个法向量为 （2）平面 CDD1C1 的一个法向量为 （3）平面 AB1D1 的一个法向量为
A1
B1
(0, 0,1)
(0,1, 0)
z
C1
D1
A
D
y
x
B
C
①设平面法向量为 n ( x , y , z )
求法向量的一般步骤：
a (a1, b1, c1 ), ②求出平面内不共线的两个向量的坐标
作业：
学法：3.2 第一课时
Hale Waihona Puke 选修2-1第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
第一课时 空间向量与平行关系
定义： 与直线平行或共线的非零向量叫作直线的 方向向量. z l b a d y c o
思考：方向向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
x
试一试：若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向 量为( A ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1)
小结：
1.直线的方向向量与平面的法向量 2.求法向量的一般步骤
3.利用方向向量与法向量判断和证明直线与平面的平 行或垂直.
4.利用向量解决立体几何问题的三步曲
课后思考题：
如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互 AB 2, AF 1, M是线段 EF上一点，问:当点 相垂直， M在什么位置时，AM∥平面 BDE ？
1 , 3 , 1 ),b(8 ,2 ,2 ). (1)直线 l1 , l2的方向向量分别为 a( (2)平面 , 的法向量分别为 (1,3,0), (3, 9,0).
例1：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系
(3)直线 l 的方向向量为 a (1, 4, 3), 平面 的法向
空间中平行垂直关系的向量表示：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 a, b 平面 , 的法向量分别为 m, n a m 时， 线线平行 l1∥l2 a ∥b a b l1∥ 或 l1 a m a m 0 线面平行 l1 ∥ 面面平行 ∥ m ∥ n m n 线线垂直 l1 l2 a b a b 0 线面垂直 l1 a ∥ m a m 面面垂直 m n m n 0