二项展开式中系数最大项的问题
例5 已知(x ＋12x
)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值；
②求展开式中系数最大的项．
[解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12
×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．
②设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.
即⎩⎪⎨⎪⎧ 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3.
所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 7
2 .
名师点拨 ☞
求展开式中系数最大的项
如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项
系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩
⎪⎨⎪⎧
A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕
已知(x 2
3 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
所以T 3＝C 25(x 2
3 )3·(3x 2)2＝90x 6，
T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 22
3 .
(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．
T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5
·3r ·x 10+4r 3 ， 故有⎩⎪⎨⎪⎧
C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.
解得72≤r ≤92
.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．
T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .。