求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是( ）（Ａ)8４0 （B)－84０ （C)210 （Ｄ）－２10解析:在通项公式1r T +=1010()rr r C x -中令r =4,即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。

例2．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 。

解析:通项公式r r rr rr r xC xxC T 2388881)1()1(--+-=-= ，由题意得5238=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。

评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a mn型 例３．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析;342()x x -的通项公式为341241442()()(2)rr rr r r r T C x C x x--+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -＝－32， 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C ＝70,故843)1()2(xx x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。

例4.在65)1()1(x x ---的展开式中,含3x 的项的系数是（ )(Ａ)5- (B) 5 (C ） 10- (D ） 1０解析:5)1(x -中3x 的系数35C -=10-， 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。

评注:求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a mn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式,由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、),()()(*∈++N m n d c b a mn型例5.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。

解析：7)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为617)2(-C 和437)2(-C ,故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617)2(-C +437)2(-C =1008。

例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ )(A ）14- (B ）14 （C )28- （Ｄ) 28略解:8)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和58C ,故()()811x x -+ 展开式中5x 的系数为458814C C -=，故选B 。

评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a mn的展开式中某一项的系数,可分别展开两个二项式,由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、)()(*∈++N n c b a n型 例７.5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5)212(++x x ＝52)12(⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x ,通项公式521512()2kk k k x T C x -+=+, 51()2k x x -+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ,则52=+r k ,可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。

当2,1==r k 时,得展开式中项为1122254222C C -=； 当1,3==r k 时,,得展开式中项为311522C C -=当0,5==r k时，得展开式中项为55C =。

综上，5)212(++xx=。

解法二:5)212(++x x ＝52)2222(x x x ++＝[]552)2()2(x x +=510)2()2(x x +，对于二项式10)2(+x 中,rrr r xC T )2(10101-+=,要得到常数项需510=-r ,即5=r 。

所以,常数项为22632)2(55510=⋅C 。

解法三:5)212(++x x 是5个三项式1(2x x+相乘。

常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式1(2x x +中,从其中一个取2x ,从另外4个三项式中选一个取1x ,从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得113354312C C C ⋅⋅⋅⋅=2x ,从另外3个三项式中选两个取1x,从剩余的１个三项式中取常数项相乘，可得222531()2C C ⋅⋅=;从5个相乘的三项式1(2x x++中取常数项相乘,可得555C ⋅=。

综上,5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为22+=。

评注:解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想,把三项式转化为二项式来解决。

解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题,本质上是利用加法原理和乘法原理,这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五 、1()()()(,,1)mm n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型例８．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中,2x 项的系数是 。

(用数字作答) 解析:由题意得2x 项的系数为352625242322=++++C C C C C 。

例９．在(1-x ）5＋(1-x )6+(1－x )7＋(1-x )8的展开式中，含x ３的项的系数是( ) (Ａ） 74 (B) 121 (Ｃ) -74 (D) －12１解析：(１－x )5＋(1－x )6+(1-ｘ)7＋(1-x )8＝5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=-- 5)1(x -中4x 的系数为455C =,9)1(x --中4x 的系数为－49126C =-，-１26+5= -121，故选D 。

评注：例8的解法是先求出各展开式中2x 项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1-x )5,公比为(1－x )的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数,简化了运算。

例８和例9的解答方法是求1()()()(,,1)mm n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤<的展开式中某特定项系数的两种常规方法。

六 、求展开式中若干项系数的和或差例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。

(用数字作答)解析:在2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-中,令0=x ,则10=a ,令1=x ,则1)1(200420043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20040302010a a a a a a a a ++++++++ ＝20030a +200420043210=+++++a a a a a 。

例1１.423401234(2x a a x a x a x a x =++++,则2312420)()(a a a a a +-++的值为( ) (A) 1 （Ｂ) －1 （Ｃ) ０ （D ） ２解析：在423401234(2x a a x a x a x a x =++++中，令1=x ,可得=++++43210a a a a a 4)32(+， 令1-=x ，可得=+-+-43210a a a a a 4)32(-所以，2312420)()(a a a a a +-++=))((3142031420a a a a a a a a a a --++++++=))((4321043210a a a a a a a a a a +-+-++++=4)32(+4)32(-=1,故选A 。

评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。

赋值法是给代数式（或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。

实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显,巧赋特值可减少运算量。

二项式中“最大项、最小项”的求解策略二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项,通常都可以利用通项来解决．在求解中,要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同.1．二项式系数最大项问题例1 已知1(2)2nx +的展开式中,第5项、第6项、第７项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件.先确定n 的值,再根据二项式系数的性质求解.解：1(2)2n x +的展开式中，第5项、第6项、第７项的二项式系数分别为456,,n n n C C C ．由题意得4652n n n C C C +=,即221980n n -+=．∴n =７或n =１4．当n =7时，展开式中二项式系数最大的项为4T 和5T ， ∴343347135()(2)22T C x x ==,4344571()(2)702T C x x ==. 当n ＝1４时，展开式中二项式系数最大的项为8T ，∴77778141()(2)34322T C x x ==．评注：求二项式()na b +系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时中间一项的二项式系数最大．２.二项展开式中系数最大项问题例2 已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于12１，求展开式中系数最大的项．解：末三项的二项式系数分别为21,,n n nn n n C C C --，由题设，得21121n n n nn n C C C --++=，即211121n n C C ++=.∴22400n n +-=, ∴15(16n n ==-舍去).∵11515(3)3r r r r rr T C x C x +==•，设r T 项,1r T +项和2r T +的系数分别为1,r r t t +,和2r t +，则1111151152153,3,3r r r r r r r r r t C t C t C --++++=•=•=•.设1r t +最大，则11151511151533,33r r r r r r r r C C C C --++⎧•≥•⎪⎨•≥•⎪⎩ 可知r =11或r =12. ∴展开式中系数最大的项是111111121212121513153,3T C x T C x =•=•．例３ 求7(12)x -展开式中系数最大的项.解:展开式共有８项,系数最大的项必为正项,即在第一、三、五、七这四项中取得,又因7(12)x -括号内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右,故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．443577661777(2)1(2)4T C C T C C -==>-系数系数，所以系数最大的项是第五项，44457(2)560T C x x =-=． 评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理,使解题过程得到简化．3．二项展开式中指定项系数最大(小)项问题例4 已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项的系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值.解：∵()f x =0011222()()()m n m n m n C C C C x C C x ++++++，∴112211m n C C m n +⨯=+=，∴112m n =-∴2222242355m n C C n n +=-+=2233514()816n -+∵n N +∈,∴n ＝3时，上式有最小值22．即()f x 展开式中2x 项系数的最小值是22.评注:对于此类问题,可利用二项式定理展开,求出2x 项的系数,再将问题转化为二次函数知识进行求解． ４.展开式中最大项（数值)问题 例５设x =50(1)x +展开式中第几项最大?解:设第r +1项为1r T +且最大,则有11505011112505029r r r r r r r r r r r r C C T T r T T C C --+++++⎧≥≥⎧⎪⇒⇒=⎨⎨≥≥⎩⎪⎩． ∴50(1)x +展开式中第30项最大.评注:此类问题同第二类问题类似,常设出它的最大项,列不等式组，再确定该项.。