v = 6m/s x2= 6m， t = 2s，
A Fdx, F ma
x1
x2
1 1 2 A mv mv 0 2 36J 2 2
d 2 x dv a 2 3t dt dt F ma 6t 2 3 2 A 6tdx 6t t dt 0 2 23
A dA F dr
a
b
F cos ds
a
b
功的计算主要在于把握对元功的分析。 不论力是在变还是位移的方向在变，我们都只 抓住在任一元位移中，它们都可视为不变的，因而 可写出元功，这叫做微元法。 12
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
在计算变力的功时，必须知道力随位移的函 数关系，但在有些情况下力的变化比较复杂，难 以找出这种固定的函数关系，使变力功的计算变 得复杂。 力对物体作功，其效果是使质点的运动状态 发生变化。 作功和物体状态变化有什么关系？ 二、动能定理
A外 A内 Ek 即：外力的功与内力的功的代数
注意
和，等于质点系总动能的增量。 内力可以改变质点系的总动能。 16
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
在计算功的过程中特别要分清研究对象。
对质点有：
A Ai F合 dr
i (a )
(b)
即，合力作的功等于各力作功之和。 但对质点系： 写不出像质点那样的简单式子， 即，各力作功之和不一定等于合力的功。
dx 4t 2dt y 16t
y 16m y 32m dv y Fy m 0 dt
t 1s t 2s
A Fx dx Fy dy 320t 3dt 1200 J
1
2
28

f静
8
4.1 功 动能定理
3、功率
第4章 功和能
功能原理
A 平均功率： P t 瞬时功率：
dA F dr
例：某质点沿 x 轴作直线运动，受力为 F (4 5 x)i N , 求：质点从 x0 0 移动到 x 10m 的过程中该力所做 的功。
A dA P lim F v Fv cos t 0 t dt
dA 称为元功，
是指质点发生微小的位移过程中，力所作的功。
5
4.1 功 动能定理
2、变力曲线运动的功
第4章 功和能
功能原理
解决方法：微元积分法
dA F dr F cos | dr |
d r = ds
“化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和”。 把路径分成许多微小的位移元； 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力， 在该微过程中的元功为： b dr
2
4.1 功 动能定理
重点：
第4章 功和能
功能原理
功、势能的概念及其计算； 功和能的基本规律（动能定理、功能原理、 机械能守恒定律）及应用 难点： 变力的功的计算；
势能概念的正确理解；
应用功能规律解题时，系统的划分和相应规律的 正确应用。
3
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
4.1
功 动能定理
729J
11
P F v 12t 3t 288W
2
4.1 功 动能定理
计算功的基本步骤：
第4章 功和能
功能原理
dA F dr
dA F cos dr F cos ds
建立坐标系； 在过程区间任选一元位移； 写出元功，分析变量关系； 积分计算功； 分析结果的物理意义。
18
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
1 3 例：一质量为 m = 2kg 的物体按 x t 2(m) 2
作直线运动。求：物体由 x1 = 2m 运动到 x2 = 6m 的过程中外力做的功。
方法二：功的定义
解： 方法一：动能定理
dx 3 2 t dt 2
x1= 2m， t = 0， v0= 0
1 p 2 Ek m v 2 2m
2
A Ekb Eka Ek
功和动能都与参考系有关； 动能定理仅适用于惯性系。
即：合力对质点所作的功，等于质点动能的增量。 注意
14
4.1 功 动能定理
明确几点： A Ek , 即：
第4章 功和能
功能原理

P2 P1
1 2 1 2 F dr mv2 mv1 2 2
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
1
4.1 功 动能定理
教学内容：
第4章 功和能
功能原理
4.1 4.2 4.3 4.4
功 动能定理 保守力及保守力的功 势能 势能曲线 势能梯度 功能原理 机械能守恒定律
教学基本要求 一、 掌握功的概念，能计算变力的功， 理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算 万有引力、重力和弹性力的势能。 二、 掌握动能定理、功能原理和机械能 守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想 和方法。
b dr
0 90 ,
dA 0
a
P

F
90 180 , dA 0
90, F dr , dA 0
2） 功是过程量，是力对空间的积累作用。 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。 （如摩擦力的功）
３）合力的功 各分力的功的代数和
A Fi dr Fi dr Ai
ds
P

F
由 a 移动到 b ，力的总功 等于各段上元功的代数和，
b
a
b
r
r
o
A dA F dr F cos ds
a
a
6
第4章 功和能 功能原理 4.1 功 动能定理 说明： dA F dr F cos | dr |
1）功是标量，没有方向，但有正负。
17
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统 的总动量。
因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用 力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 但是由于质点系内各质点间可以有相对位移， 一般情况下，内力的功不一定为零，所以内力作功 可以改变质点系的总动能。 比如: 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，而子 弹对墙的摩擦力不作功，所以 A内 0
4
4.1 功 动能定理 一、功
第4章 功和能
功能原理
力对质点所作的功： 力在质点位移方向的分量 与位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积。
1、恒力直线运动的功：
A F cos | r | F Δr
位移无限小时：dA F dr
F
F
θ
Δr
dA F cos dr F cos ds = Fτ ds
13
4.1 功 动能定理
1、质点的动能定理
第4章 功和能
功能原理
dv Ft m A F dr Ft dr Ft ds, a a a dt b vb dv 1 1 2 2 A m ds m vd v m vb m va a va dt 2 2

b

b

b
动能（状态函数） 动能定理
第4章 功和能
功能原理
解： A
F dr Fdx （一维运动可以用标量）
dx F dt dt
t 0
F vdt
t
v v 0 adt 0 0
3 2 3 0 0
t 12t F dt dt 3t 2 0 2 m
3 4 3 0
A 12t 3t dt 36t dt 9t
i
7
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
４）在直角坐标系中功的解析式：
F Fx i Fy j Fz k
dr dxi dyj dzk
A dA F dr
a
b
A Fx dx Fy dy Fz dz
5）功的大小与参照系有关。 例如：传送带将箱子从低处 运到高处，地面上的人看摩 擦力作功了，而站在传送带 上的人看摩擦力没有作功。
4.1 功 动能定理
第4章 功和能
功能原理
例：质量为 10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线 运动，该质点的速度为 v = 4t 2 i 16 j ，开始时 质点位于坐标原点。求：在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
d x 解： v x 4t 2 dt dy v y 16 dt dv x Fx m 80t dt
15
4.1 功 动能定理
2、质点系的动能定理 对第 i 个质点，有： 1 1 2 Ai mi v i mi v i20 2 2 1 1 2 Ai外 Ai内 m i v i m i v i20 2 2
第4章 功和能
功能原理
m1
ex Fi
in m i m2 Fi
1 1 2 2 A A m v m v 对质点系，有： i外 i内 i i i i0 2 2 质点系动能定理 Ai外 Ai内 Ek Ek 0
1）动能定理说明，做功可以引起物体动能的 变化，也可以说功是能量变化的量度。
2） 功是过程量，动能是状态量。 在计算复杂的外力作功时，只须求始末两态的 动能变化，即可求出该过程的功。
3） A 为合力做的功，而不是合力中某一个力 的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。
4） 通过作功，质点与外界进行能量交换。 动能是质点因运动而具有的做功本领。