n1
1 1 1 1
2
23
『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质.
『特别提醒』 等比级数的和为 a1 ( q 1) ，一定记住分子为第一项. 1 q
7. 解
lim un1 u n
n
lim n
2n1
n 1 (3)n1
x 2 n 1
2n
n (3)n
x 2 n 1
lim n
2n (3)n 2n1 (3)n1
x2
1 lim
( 2)n 1 3
x2 x2
3 n ( 2)n1 1
3
3
5
由比值审敛法知：当 x2 1，即 x 3 时，级数收敛；当 x2 1 ，即 x 3 时，
3
3
级数发散，因此级数的收敛半径为 R 3 .
『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法
判断级数 un 收敛时，原级数 un 绝对收敛；而级数 un 发散时，原级数
2 a2
n an )
S(1) a
a (1 1 )2
a (a 1)2
a
『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个
利用分式的性质，将
f
(x)
12 5x 6 5x x2
化为标准形式 1 1 (
x)
1 1 x
.
6
15. 解
所求极限实际上是级数
n1
n an
的和，所以考虑幂级数
nx n
n1
.
令
S(x)
x
n1
nxn1
x[
n1
xn ]
x( x 1
) x
x (1 x)2
（ 1 x 1）
8
1
故
1 lim( n a
( A)
2
(B)
(C) 2
(D) 0
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
6.
1 级数 n1 ( 2n
1 3n
)
的和为
.
7.
幂级数
2n
n1
n (3)n
x2n1 的收敛半径为
.
8. 已知级数 (1)n1un 2 , u2n1 5 ，则级数 un
.
n1
n1
n1
9．将 f (x) 1 展开为 x 的幂级数时，其收敛域为
11. 解 运算过程是错误的.
函数 ln(1 x) 的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为 (1)n1 xn ，而是在
n1
n
区间 (1,1] 上， ln(1 x) (1)n1 xn ，故运算错误.
n1
n
『方法技巧』 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域.
12. 解 当 n 3 时，1 n ln n n n ，又 lim n n 1 ，由夹逼准则知 n
n1
n1
『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此 性质只适用于收敛级数）.
『特别提醒』 一些同学不熟悉符号 ，可以将其写成普通和的形式，看起 来会方便一些.
9.
解
由于
f
(x)
2
1
x
1 2
1 1
x
，则当
x 1，即 x 2 时，函数可以展 2
2
开为 x 的幂级数，故收敛域为 (2, 2) . 『方法技巧』 本题考查形如 f (x) 1 的函数展开式及收敛域 x 1.若函 1 x
n1ห้องสมุดไป่ตู้
n
n2
则级数
n1
(1)n1
k n2
n
条件收敛，故选
(B)
.
『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概
念.
4
5. 解 x 2 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收
敛于
S(2 ) f (2 0) f (2 0) 0
2
22
故选 ( A) .
x2n
的和函数.
n1 (2n)!
第九章 多元函数微分法及其应用同步测试 A 答案及解析
一、单项选择题
题号 答案
1
2
3
4
5
BCDBA
答案详细解析
1. 解 利用级数的性质.
由于 1 1 1 是常数， 1 1 1 发散，因此 ( A) 发散.
2 22
2100
23
n
由于 1 1 1 是常数， 1 1 1 收敛，因此 (B) 收敛.
6
数不是标准形式，需先化为标准形式.
10. 解 由傅里叶系数公式
a0
2
(x 1)dx
2 A1 (x 1)2
2
0
2
0
『方法技巧』 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：
an
2
f (x) cos nxdx
0
(n 0,1, 2,)
则
f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
（
x
在连续点）
三、解答题
ex x
lim 1
ex x
e0
1
x
x
故
lim n n 1
n
一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如 lim n a 1 (a 0) ； lim n n 1 等.
n
n
7
13. 解
n2 1 xn
n2 ( x)n
1 ( x)n
(n
1)
1
(
x )n
x
e2
n0 2n An!
n0 n! 2 n0 n! 2 n1 (n 1)! 2
8. 解 由题设
(1)n1un u1 u2 u3 u4 2 , u2n1 u1 u3 u5 5
n1
n1
un u1 u2 u3 u4 2(u1 u3 u5 ) (u1 u2 u3 u4 )
n1
2 u2n1 (1)n1un 2 5 2 8
)
(
1 n
1 2n
)
(D)
(1
1 2
1 3
1 n
)
1 ( 2
1 22
1 2n
)
2．设 un 为数项级数，下列结论中正确的是（ ） n1
( A) lim un1 l , l 1，级数绝对收敛. u n
n
(B) lim un1 l , l 1，级数发散. u n
n
(C) lim un1 l , l 1 ，级数绝对收敛. u n
12. （8 分）讨论级数
的敛散性.
n2 n ln n
13.
（8
分）求级数
n0
n2 2n
1 An!
xn
的和函数.
14.
（8 分）将
f (x)
12 5x 6 5x x2
展开为 x 的幂级数.
15.
1 （8 分）求极限 lim(
n a
2 a2
n ) (a 1) . an
2
16.
（8 分）利用对展开式 x 2
.
2x
10．将 f (x) x 1 (0 x ) 展开为余弦级数时， a0
.
三、解答题(共 65 分)
11. （8 分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在.
因为 ln(1 x) (1)n1 xn ，因此取 x 2 得 ln 3 (1)n1 2n .
n1
n
n1
n
1
n
(D) lim un1 l , l 1，级数条件收敛. u n
n
3．已知幂级数 an xn 的收敛半径 R 2 ，则对幂级数 an (x 3)n 而言，下列的 x
n1
n1
值不能确定收敛或发散的是（ ）
( A) x 2 (B) x 2 (C) x 1 (D) x 1
4.
设常数 k
3
『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与 一个发散级数的和发散.
2. 解 比值审敛法只适用于正项级数，所以 ( A) 不正确.事实上，令
un
(1)n n ， lim n
un1 un
lim
n
(1)n1(n 1) (1)n n
1 1 ，但级数
(1)n n
n1
发散.
1
令 un
念.
『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.
3. 解 由于 an xn 的收敛半径 R 2 ，则幂级数 an (x 3)n 在 x 3 2 ，
n1
n1
即1 x 5 内绝对收敛，在 x 5 或 x 1处发散，在 x 1,5 不能确定，故选 (D) .
『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.
n1
n1
n1
un 也 发 散 .这 是 由 于 比 值 审 敛 法 判 断 级 数 发 散 是 使 用 的 必 要 条 件 ， 即
n1
lim
n
un
0
，此时
lim
n
un
0 ，故级数 un 也发散.
n1
『特别提醒』 观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可
以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令 t x2 ）.
(1)n1 sin nx 逐项积分，求 x2 在 ( , ) 内的傅里
n1 n
叶级数.
17.
1 （8 分）已知 n1 n2
2 6
，求
1 ln x dx .
01 x
18. （9 分）设有级数 2
x2n ，验证此级数的和函数 y(x) 满足微分方程