证明：由已知得
��
1� �
1� �
ω1 •ω2 = (− 2 ∈: Ω1) • (− 2 ∈: Ω2 )
=
1 4 (∈ijk
� g
i
� g
j
� g
k
:
Ω1lm
� gl
� gm
)
•
(∈rst
��� g r g s gt
:
Ω2
xy
� g
x
� g
y
)
=
1 4 (∈ijk
Ω1
jk
� g
i
)
•
(∈rst
� Ω2stg r )
Li = m[ωir mrm − r irkωk ]
ω
v
=
m[δ
i k
r m rm
−
ri
rk
]ω k
=
I
i ik
ω
k
所以 L = m[(r •r)G − rr] •ω = I •ω
1.51 已知向量ω1 与二阶反对称张量 Ω 1 ，矢量 ω2与二阶反对称张量 Ω 2 分别互为
反偶。反偶？
1 求证： ω1 • ω2 = 2 Ω1 : Ω2
m
v 可知: ∂vm'
∂xn '
∂x m = ∂xm '
∂vm ∂xn
∂xn ∂xn'
∂xm + ∂xm ' ∂xn'
m
v 同理可得： ∂vn'
∂x m '
=
∂xn ∂xn'
∂vn ∂xm
∂x m ∂xm '
∂x n + ∂xm' ∂x n'
n
v v 则T(m'.n' )
=
∂v m
'
∂x n '
− ∂vn' ∂xm '
2δ
i j
[u
v
w
]
+
2δ
i j
[u
v
w]
[ = T⋅ii δ
i j
u
v
w ]=T⋅ii [u
v
w ]= φ1T [u
v
w ]，命题得证。
（2）式左边
[ ] [ ] [ ] = T⋅ija jgi
T
a ⋅b
b
b
g
a
c cgc
+ adgd
T ⋅ijb jgi
T⋅ab cb g a + T⋅ija jgi
=
TamT ma
1S∗
=
tr(S) =
tr(B•
A) =
B•
A:
G
=
T.nm gm gn
•
T.
i j
gi
gj
:
gab ga gb
=
TanT na
∴T与S具有相同的主不变量。
2.4 求证：（1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ]+ [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
ux (wxvz − vx wz ) − uy (vywz − wyvz ) ] 右边= (u • w)v − (u • v)w
= (uxwx + u ywy + uz wz )v - (uxwx + u ywy + uz wz )w
= (uxwx + u ywy + uz wz ) (vx , vy , vz ) - (uxwx + u ywy + uz wz ) (wx , wy , wz )
=TT
•T T •T T •G •
=T T T m p a •p •a •m
2.3 已知：任意二阶张量 A,B ,且 T = AiB,S = BiA
求证：T 与 S 具有相同的主不变量。证明：1T∗来自=tr(T )
=
tr ( A •
B)
=
A•
B
:G
=
T.
i j
gi g j
• T.nm gm gn
:
gab ga gb
g11g1 + g12g2 + g13g3 = 2g1 + g2 + g3
2
1
1
= (-i + j + k) + (i - j + k) + (i + j - k)
2
2
2
= j + k = g1
及： g1 = g11g1 + g12g2 + g13g3
同理; g21g1 + g 22g2 + g 23g3 = g1 + 2g2 + g3
=[ uy (vx wy − wxvy ) − uz (wxvz − vxwz ) , uz (vywz − wyvz ) −ux (uxwy −wxv y ) , ux (wxvz − vx wz ) − uy (vywz − wyvz ) ] 所以： u×(v ×w) = (u• w)v −(u• v) w
+ a jb ec b ε iea ε jbbε
jbb
{( ) ( ) ( ) } [ ] [ ] [ ] =
1 6
T
⋅ij T
a ⋅b
δ
ijδ
b a
−
δ
ajδ
b i
a
b
c
+
δ
i j
δ
b a
−
δ
ajδ
b i
a
b
c
+
δ
ijδ
b a
−
δ
j a
δ
b i
abc
( )[ ] 1
=2
T
i ⋅j
T⋅abδ
i
j
δ
（2） [T ⋅ a
T⋅b
c] + [a
T⋅b
T ⋅ c]+ [T ⋅ a
b
T
⋅
c]
=
φ
T 2
[a
b
c]
证明：（1）式左边
[ ] [ ] [ ] =
T
ui
⋅j
jgi
v aga
w bg b
+ ucgc
T⋅ij v jg j
wd gd
+ uege
vf gf
T⋅ijw jgi
=
T⋅
i j
u
jva
wb ε
ia
同理可证： (u× v )× w = (u • w)v −(v •w)u
所以 u× (v × w) ≠（u× v）× w
1.11 根据上题结果验算公式： g j = g jigi
由上题结果：
g
=
2 , g1
=
1 (−i 2
+
j
+ k) , g2
=
1 2
(i
−
j
+ k ),
g3
=
1 2
(i
+
j−
k)
⎧2 当r=s grs = ⎨⎩1 当r ≠ s
=
1 4
∈ijk
∈rst
Ω1 jk Ω 2st
=
1 4
(δ
sj δ
t k
−
δ
tjδ
s k
)Ω1
jk
Ω
2st
=
1 4
(Ω1 jk Ω 2 jk
− Ω1 jk Ω2kj )
已知
� Ω
2
为反对称张量，故
Ω
1
jk
Ω
2k
j
=
−Ω1 jk Ω 2 jk
� ω1
所以
� • ω2
=
1 2
Ω1 jk Ω 2 jk
� Ω1
上式左端相等， a1 ⋅ N ⋅a2 = a2 ⋅N ⋅a1
故其右端也相等，即 (λ1 − λ2 ) a1 ⋅a2 = 0
注意到 λ1 − λ2 ≠ 0 同理可得 a1a2 = 0
所以 a1 ,a2 ,a3 互相正交且唯一
左边= u × (v × w) = (ux ,u y ,uz ) ×[ (vx , vy , vz ) × (wx, wy, wz ) ]
⎡i j k⎤
= (ux
,u y ,uz
)
×
⎢ ⎢
vx
vy
vz
⎥ ⎥
⎢⎣wx wy wz ⎥⎦
= (ux ,u y ,uz ) ×[ (vy wz − wyvz ) , (wxvz − vxwz ) ,( vxwy − wxv y )] =[ uy (vx wy − wxvy ) − uz (wxvz − vxwz ) , uz (vywz − wyvz ) −ux (uxwy −wxv y ) ,
= 1 (-i + j + k) + 2 (i - j + k) + 1 (i + j - k)
2
2
2
= i + k = g2
及： g2 = g21g1 + g 22g2 + g 23g3
g31g1 + g32g2 + g 33g3 = g1 + g2 + 2g3
1
1
2
= (-i + j + k) + (i - j + k) + (i + j - k)