专题动点轨迹问题
——直线、圆弧型路径
自查:
(2018 广州25题)如图12,在四边形ABCD中,∠B＝60°,∠D＝30°,AB＝B C、
(1)求∠A＋∠C得度数;
(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间得数量关系,并说明理由;
(3)若AB＝1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足,求点E运动路径得长度、
一．几何模型
(1) 直线型路径
①【定距离判断直线型路径】
当某一动点到某条直线得距离不变时,该动点得路径为直线、
②【定角度判断直线型路径】
当某一动点与定线段得一个端点连接后所成得角度不变,该动点得路径为直线、
(2)圆弧型路径
①【用一中同长定圆】
到定点得距离等于定长得点得集合就是圆、
②【用定弦对定角定圆】
当某条边与该边所对得角就是定值时,该角得顶点得路径就是圆弧、
二．典例分析
例1如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在边AD上,且AE:ED=1:3.动点P从点A出发,沿AB 运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F,设M就是线段EF得中点,则在点P运动得整个过程中,点M运动路线得长为、
例2如图,△ABC与△ADE都就是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=2,O为AC中点,若点D在直线BC 上运动,连接OE,则在点D运动过程中,线段OE得最小值就是为、
例3如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=,点P在以斜边AB为直径得半圆上,M为PC得中点,当点P沿半圆从点A 运动至点B时,点M运动得路径长就是、
例4 在正方形ABCD中,AD=2,点E从点D出发向终点C运动,点F从C出发向终点B运动,且始终保持DE=CF、连接AE,DF交于点P,则点P运动得路径长就是、
三、巩固练习
1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D就是平面内得一个动点,且AD=2,M为BD得中点,在D点运动过程中,线段CM长度得取值范围就是、
1题图 2题图 3题图
2.如图,等边三角形ABC中,BC=6,D、E就是边BC上两点,且BD=CE=1,点P就是线段DE上得一个动点,过点P分别作AC、AB得平行线交AB、AC于点M、N,连接MN、AP交于点G,则点P由点D移动到点E得过程中,线段BG扫过得区域面积为、
3.如图,以G(0,1)为圆心,半径为2得圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F.若点E从在圆周上运动一周,则点F所经过得路径长为、
4.如图,已知点A就是第一象限内横坐标为得一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P就是线段ON 上得一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动得路径就是 .
4题图 5题图 6题图
5.如图,在边长为3得等边三角形ABC中,P为AC边上一动点,Q为线段PC上一点,∠PBQ=30°,D为BQ延长线上一点,PD=PB、当点P从点A运动到AP=AC时,点D经过得路线长为、
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=AC=2,线段BC上一动点P从点C开始运动,到点B停止,以AP为边在AC得右侧作等边△APQ,则点Q运动得路径长为、
7.(2018 花都区一模 )
已知,如图1,正方形得边长为,点、分别在边、得延长线上,且,连接、
(1)证明:;
(2)将绕点顺时针方向旋转,当旋转角满足时,设与射线交于点G,与AC交于点H,如图所示,试判断线段,,得数量关
系,并说明理由、
(3)若将绕点旋转一周,连接、,并延长交直线于点,连接,试说明点得运动路径并求线段得取值范围、
8.(2017 越秀区期末25题)
如图,在平面直角坐标系xoy中,点A(0,3),B(5,3)、点P(x,0)就是x轴正半轴上得一个动点,以BP为直径作圆Q 交x轴于点C,圆Q与直线AC交于点D,连接PD、BD,过点P作PE∥BD交圆Q于点E,连接BE、
（1）求证:四边形BDPE就是矩形;
（2）设矩形BDPE得面积为S,试求S关于x得函数关系式,写出x得取值范围,并判断S就是否存在最大值或最小值？若存在,求出这个最大值或最小值,若不存在,请说明理由;
（3）当0≤x≤5时,求点E移动路线得长、
备用图
9.(2018 越秀区期末25题)
如图1所示,正方形ABCD得边长为2,点E、F分别为边AB、AD得中点,如图2所示,将△AEF绕点A逆时针旋转α(0°<α90°),射线BE、DF相交于点P、
（1）求证:△ABE≌△ADF;
（2）如图2,在△AEF旋转过程中,若射线BE恰好通过AD得中点H,求PF得长;
（3）如图3,若将△AEF从图1得位置旋转至AE⊥BE,试求点P在旋转过程中得运动路径长、
10.如图,正方形ABCD得边长就是2,M就是AD得中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止.连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF得垂线交射线BC于点G,连结EG、FG.
(1)设AE＝x时,△EGF得面积为y,求y关于x得函数关系式,并写出自变量x得取值范围;
(2)P就是MG得中点,请直接写出点P运动路线得长.
11.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC得两边OA、OC分别在x轴、y轴得正半轴上,OA＝4,OC＝2.点P从点O 出发,沿x轴以每秒1个单位长得速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动得时间就是t秒.将线段CP得中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P得运动而运动,连接DP、DA.
(1)请用含t得代数式表示出点D得坐标;
(2)求t为何值时,△DPA得面积最大,最大为多少？
(3)在点P从O向A运动得过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t得值;若不能,请说明理由;
(4)请直接写出随着点P得运动,点D运动路线得长、
12.如图,直角坐标系中,已知点A(2,4),B(5,0),动点P从B点出发沿BO向终点O运动,动点Q从A点出发沿AB 向终点B运动.两点同时出发,速度均为每秒1个单位,设从出发起运动了x秒.
(1)Q点得坐标为( , )(用含x得代数式表示);
(2)当x为何值时,△APQ就是一个以AP为腰得等腰三角形？
(3)记PQ得中点为G.请您直接写出点G随点P,Q运动所经过得路线得长度.
13.已知△ABC就是等腰直角三角形,AC=BC=2,D就是边AB上得一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E就是点A得对应点,点F就是点D得对应点.
(1)如图1,当α=90°时,G就是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC;
(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD得度数;
②设D为边AB得中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动得路径长.
14.已知抛物线经过点A(1,0)与B(-3,0)、
(1)求抛物线得解析式,并写出其顶点C得坐标;
(2)如图1,把抛物线沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线,此时点A,C分别平移到点D,E处、设点F在抛物线上且在x轴得上方,若△DEF就是以EF为底得等腰直角三角形,求点F得坐标、
(3)如图2,在(2)得条件下,设点M就是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN得中点,当点M 从点B向点C运动时:①tan∠ENM得值如何变化？请说明理由;②点M到达点C时,直接写出点P经过得路线长、
15.如图1,已知正方形OABC得边长为2,顶点A、C分别在x、y轴得正半轴上,M就是BC得中点.P(0,m)就是线段OC上一个动点(点C除外),直线PM交AB得延长线于点D.
(1)求点D得坐标(用含m得代数式表示);
(2)当△ADP就是等腰三角形时,求m得值;
(3)设过点P、M、B得抛物线与x轴得正半轴交于点E,过点O作直线ME得垂线,垂足为H(如图2).当点P从原点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过得路径长(不写解答过程).
16.问题探究:
(1)请在图①得正方形ABCD内,画出使∠APB=90°得一个点,并说明理由.
(2)请在图②得正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°得所有得点P,并说明理由.
问题解决:
(3)如图③,现在一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3.工人师傅想用它裁出两块全等得、面积最大得△APB与△CP′D 钢板,且∠APB=∠CP'D=60度.请您在图③中画出符合要求得点与,并求出△APB得面积(结果保留根号).
17.如图,△ABC与△ADE都就是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,AC=2,AD=1,F为BE得中点.
(1)如图1,当边AD与边AB重合时,连接DF,求证:DF⊥CF;
(2)若∠BAE=135°,如图2,求CF2得值;
(3)将△ADE绕点A旋转一周,直接写出点F运动路径得长。