《平面向量》
1.向量
2.表示方法
3.向量模（长度）
4.零向量
5.单位向量
6.相等向量
7.相反向量
8.共线（平行）向量 例：下列命题中，正确的是（ ）
A 、|a |＝|b |⇒a ＝b
B 、|a |＞|b |⇒a ＞b
C 、a ＝b ⇒a ∥b
D 、｜a ｜＝0⇒a
＝0
一、 不用坐标研究向量
A （1）加法运算 （2）减法运算 （3）数乘运算
（4）数量积运算cos a b a b θ→
→
→
→
⋅⋅=
2
2
a a
→→=
cos θ=
a →
= a b →
→
⊥⇔ a b →
→
⇔∥
例1：等边三角形ABC 的边长为2，则=⋅？
例2:
12,e e →→
是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e
例3：(1) |a →
|=1，|b →
|=2，向量a →
与b →
的夹角为60°，则|a →
-b →
|=
(2)已知a b a b →→→→+=-，则a b →→
⋅=？
例4：已知单位向量12,e e →→
的夹角为3
π
，122a e e →→→=-，则a →在1e →上的投影是？
【2017全国理13】已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b →
|=
例4：21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=， 若D B A ,,三点共线，则k 的值是（ ）
B. 平面向量基本定理：平面内任何一个向量都能由另外两个不共线的向量表示出来。

例：平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点。

若AB =a ，=b ，试以a ,b 为基底表示DE 、BF
【2018全国文7】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．3144A
B A
C - B ．1344AB AC -
C ．3144AB AC +
D ．1344
AB AC +
【2015全国理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =
，则
（A ）1433AD AB AC =-+
(B)1433
AD AB AC =-
（C ）4133AD AB AC =+ (D)41
33
AD AB AC =-
【典型例题】已知1a b →→==，a →与b →的夹角是直角，23c a b →→→=+，4d k a b →→→=-，c d →→
⊥则k =?
【典型例题】△ABC 为腰长为4的等腰三角形，顶角A 为D 为BC 边上的中点，E 为AD 上的一点，求BC CE →
→
⋅=?
【2018淄博一模】已知直线(a-1)x+(a+1)y-a-1=0过定点A ，线段BC 是圆22(2)(3)1x y -+-=的直径，则AB AC →
→
⋅=？
二、 用坐标研究向量 1. 向量坐标的求法
【2015全国文科2】点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--
，则向量BC =
（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)
2. 向量的坐标运算 若11(,)x y a →
=
2
2
(,)x y b →
= 则
(1)1212(,)x x y y a b →
→
±±±= (2)11(,)x y a λλλ→
= (3)1212x x y y a b →→
⋅+=
（4）cos θ= （5）
a →
= （6）a b →
→
⊥⇔ （7）a b →→
⇔∥
1.【2014山东文科高考】向量
(3,)a b m →
→== . 若向量,a b →→ 的夹角为6
π
，则m =
(A)
(B)
(C) 0 (D)
2.【2017全国文13】向量a →
=(-1,2)，b →
=(m ,1)．若a →
⊥(a →
+b →
)，则实数m 的值为？
3.【2016山东文科】向量a →
=(1,–1)，b →
=(6,–4)．若a →
⊥(t a →
+b →
)，则实数t 的值为？
4. 【2013山东文科高考填空】在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =- ，(2,2)OB =
，
若90o ABO ∠=，则实数t 的值为？
5. 【2016山东理科】已知非零向量a →
，b →
满足4│a →
│=3│b →
│，cos<a →
,b →
>=1
3.若b →⊥(t a →+b →
)，
则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–9
4
6. 【2014全国文】设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB
A.AD
D.
7.【2014全国理】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2
AO AB AC →
→
→=+，则 AB →与AC →
的夹角为?
8.【2013山东理科】已知向量−→
−AB 与−→−AC 的夹角1200
且|−→−AB |=3，|−→
−AC |=2，
若−→−−→−−→−+=AC AB AP λ，且−→
−−→−⊥BC AP ，则实数λ的值为？
9. 已知直线L ：ax -y +2=0与圆M ：x 2+y 2-4y +3=0的交点为A 、B ，点C 是圆M 上的一个动点，P(0,-1) 则++PA PB PC
的最大值是？
10.(文)已知△ABC
的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0PA PC +=
，
2QA BQ =
则APQ ∆的面积为？
（A ）
12
（B ）2
3 （C ）1 （D ）2
11.(理)已知△ABC
的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0PA PC +=
，
QA QB QC BC ++= 则APQ ∆的面积为？ （A ） 12
（B ）2
3（C ）1 （D ）2
12. 【湖南高考】P 是△ABC 内一点
(1)若−→
−PA •−→
−PB =−→
−PB •−→−PC =−→−PC •−→
−PA 则P 是△ABC 的（ ）心; (2)若−→
−PA +−→
−PB +−→−PC =−→
−0，则P 是△ABC 的（ ）心
13. 【江苏理科高考】O 为三角形ABC 中线AM 上的一个动点，AM=2,
求()OA OB OC →→→
∙+的最小值是？
14. 【2013湖南理科】已知a →
和b →
是单位向量，a →
b →
⋅=0，│c a b →
→
→
--│=1则│c →
│的最大值为？
15. 【2011江苏】()2sin(
)84
f x x π
π
=+（-2<x <14）的图象与x 轴的交点为A ，过A 的直线
与f(x)的图象交于B 、C 两点，求()OB OC OA →
→
→
+⋅=？
16. 【2010山东理科12题】a →=(m,n ), b →=(p,q )，若a →⊙b →
=mq-np ，则说法错误的是？ （A ）若a →与b →共线，则a →⊙b →=0 （B ）a →⊙b →=b →⊙a →
（C ）对任意的λ∈R ，有（λa →）⊙b →=λ（a →⊙b →） （D ）（a →
⊙b →
）2
+（a →·b →
）2
=|a →
|2
|b →
|2
17.【2011山东理科选择12题】平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ→
→
=，
1412A A A A μ→→
=，且11
2λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A 。

已知平面上的点C 、D 调和
分割点A 、B ，则下列说法正确的是（ ）
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．,C
D 可能同时在线段AB 上 D ．,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上
18. 【2013全国文】 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =？
19.【2016全国文】设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =？
20. 【2013福建理科】在四边形ABCD 中, (1,2)AC →
=,(4,2)BD →
=-，则该四边形的面积为？
[练习]
,,a b c →→→
为非零向量，4,a b →→==a →与b →
的夹角为4
π
，且()()1c a c b →→→→-⋅-=-，求c a
→→-的最大值。