导数中的不等式证明问题
一、常见基本题型：
（1） 结合问题之间的联系，利用函数的单调性证明；
（2） 构造新的函数，求导，结合函数的单调性去证。

例1：已知函数()ln f x x =，21()22g x x x =
-． （1）设/()(1)()h x f x g x =+-（其中/()g x 是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；
（2）证明: 当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a -+-<
； 解:（1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >-
所以 1()111
x h x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．
因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；
（2）当0b a <<时，102b a a
--<
<． 由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<． 因此，有()(2)ln ln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭
． 例2：已知221()ln ,02
f x x a x a =->. （I ）求函数f （x ）的最小值；
（II ）（i ）设0t a <<，证明：()()f a t f a t +<-；
（ii ）若12()()f x f x =，且12,x x ≠证明：122.x x a +>
解：（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )x
． 当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；
当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．
当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2a 2－a 2ln a ．
（Ⅱ）（ⅰ）设g (t )＝f (a ＋t )－f (a －t )，则
当0＜t ＜a 时，
g '(t )＝f '(a ＋t )＋f '(a －t )＝a ＋t －a 2a ＋t ＋a －t －a 2a －t ＝2at 2
t 2－a 2
＜0， 所以g (t )在(0，a )单调递减，g (t )＜g (0)＝0，
即f (a ＋t )－f (a －t )＜0，
故f (a ＋t )＜f (a －t )． （ⅱ）由（Ⅰ），f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增，
不失一般性，设0＜x 1＜a ＜x 2，
因0＜a －x 1＜a ，则由（ⅰ），得
f (2a －x 1)＝f (a ＋(a －x 1))＜f (a －(a －x 1))＝f (x 1)＝f (x 2)，
又2a －x 1，x 2∈(a ，＋∞)，
故2a －x 1＜x 2，即x 1＋x 2＞2a ．
（3）与数列相结合的问题 例3.设曲线32132
ax y bx cx =++在点x 处的切线斜率为()k x ，且(1)0k -=,对一切实数x ，不等式12()(1)2
x k x x ≤≤+恒成立（0a ≠）. （1）求()1k 的值； （2）求函数()k x 的表达式；
（3）求证：11112(1)(2)(3)
()2n k k k k n n ++++>+. 解：（1）2()k x ax bx c =++，()21(21)x k x x ≤≤+,
11(1)(11)12
k ∴≤≤+=, ()11k ∴= (2)1(1)002(1)1112
b k a b
c k a b c a c ⎧=⎧⎧-=-+=⎪⎪⎪⇒∴⎨⎨⎨=++=⎪⎪⎩⎩⎪+=⎩ ()k x x ≥,122
ax x c x ∴++≥ 11120,40,2416ax x c ac ac -+≥∆=-≤∴≥，
又2()1416a c ac +≤=即1111,,1616164ac ac a c ≤≤∴=∴== ()()11112214244
k x x x x ∴=++=+ (3)证明:()()1421k x x =+ .
∴原式()()()444222112131=++++++…()4
21n ++1114222234⎡=+++⎢⎢⎣…()121n ⎤⎥+⎥+⎦ 1114344523⎡>+++⎢⨯⨯⨯⎣…()()112n n ⎤+⎥++⎥⎦
1111114233445
⎛=-+-+-+ ⎝…1112n n ⎫++⎪++⎭ ()2114422222n n n n n ⎛⎫=-=⨯= ⎪+++⎝⎭
针对性练习：
2.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈.
（1）当0a <时，求函数()f x 的最小值；
（2）求证：()2,1ln 44ln 33ln 22ln ≥∈<⋅⋅⋅⋅n N n n
n n . 解：（1）当1x =时，函数()f x 的最小值3a --,
（2）令1,a =-此时()ln 3f x x x =-+-∴(1)2f =-
2.已知函数1ln )1()(+-+=x x x b x f ，斜率为1的直线与)(x f 相切于(1,0)点.
（1）求()()ln h x f x x x =-的单调区间； （2）证明：(1)()0x f x -≥.
解：（1）由题意知：1)1(ln )(-++
='x
x x b x f 1,112)1(==-='b b f
()()ln ln 1h x f x x x x x =-=-+
1()1h x x '=-
1()10h x x '=->解得：01x <<；1()10h x x '=-<解得：1x > 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， （2）由（1）知：。