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正弦与余弦定理练习题及答案40121

正弦定理和余弦定理练习题1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D .2 6 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 6 D.323 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )A .45°或135°B .135°C .45°D .以上答案都不对 4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .1∶5∶6B .6∶5∶1C .6∶1∶5D .不确定 5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )A .1 B.12 C .2 D.14 6.在△ABC 中,若cos A cos B =ba ,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或328.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )A. 6 B .2 C. 3 D. 2 9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3,则A =________.10.在△ABC 中,已知a =433,b =4,A =30°,则sin B =________. 11.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________.12.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________. 13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +csin A +sin B +sin C=________,c =________.14.已知三角形ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +csin A -2sin B +sin C=________.15.在△ABC 中,已知a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.16.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.17.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A 2,求A 、B 及b 、c .19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.余弦定理练习题1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于( )A .6B .26C .3 6D .4 62.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D .2 3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( )A .60°B .45°C .120°D .150° 4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A 等于( )A .aB .bC .cD .以上均不对6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度决定7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC→的值为( ) A .2 B .-2 C .4 D .-4 8.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( )A. 3 B .2 3 C.3或2 3 D .2 9.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.10.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数.11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________.12.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________.13.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________. 14.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →的值为________.15.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,则角C =________.16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________.17.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.18.已知△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数.19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .(1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π4)的值.20.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.正弦定理1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D .2 6解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin Bsin A= 6.2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 6 D.323解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin Bsin A=4 6.3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )A .45°或135°B .135°C .45°D .以上答案都不对解析:选C.由正弦定理a sin A =b sin B 得:sin B =b sin A a =22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B=45°.4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .1∶5∶6B .6∶5∶1C .6∶1∶5D .不确定解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )A .1 B.12 C .2 D.14解析:选A.C =180°-105°-45°=30°,由b sin B =c sin C 得c =2×sin 30°sin45°=1.6.在△ABC 中,若cos A cos B =ba,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形解析:选D.∵b a =sin B sin A ,∴cos A cos B =sin Bsin A,sin A cos A =sin B cos B ,∴sin2A =sin2B即2A =2B 或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π2.7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析:选D.AB sin C =AC sin B ,求出sin C =32,∵AB >AC ,∴∠C 有两解,即∠C =60°或120°,∴∠A =90°或30°.再由S △ABC =12AB ·AC sin A 可求面积.8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )A. 6 B .2 C. 3 D. 2解析:选D.由正弦定理得6sin120°=2sin C,∴sin C =12.又∵C 为锐角,则C =30°,∴A =30°, △ABC 为等腰三角形,a =c = 2.9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3,则A=________.解析:由正弦定理得:a sin A =csin C,所以sin A =a ·sin C c =12.又∵a <c ,∴A <C =π3,∴A =π6.答案:π610.在△ABC 中,已知a =433,b =4,A =30°,则sin B =________.解析:由正弦定理得a sin A =bsin B?sin B =b sin A a =4×12433=32.答案:3211.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________.解析:C =180°-120°-30°=30°,∴a =c ,由a sin A =b sin B 得,a =12×sin30°sin120°=43, ∴a +c =8 3. 答案:8 312.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________.解析:由正弦定理,得a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B , 代入式子a =2b cos C ,得 2R sin A =2·2R ·sin B ·cos C , 所以sin A =2sin B ·cos C , 即sin B ·cos C +cos B ·sin C =2sin B ·cos C , 化简,整理,得sin(B -C )=0.∵0°<B <180°,0°<C <180°, ∴-180°<B -C <180°, ∴B -C =0°,B =C . 答案:等腰三角形13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +csin A +sin B +sin C=________,c =________.解析:由正弦定理得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =63sin60°=12,又S △ABC =12bc sin A ,∴12×12×sin60°×c =183,∴c =6.答案:12 614.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +csin A -2sin B +sin C=________.解析:由∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3得,∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°,∴2R =a sin A =1sin30°=2,又∵a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,∴a -2b +c sin A -2sin B +sin C =2R ?sin A -2sin B +sin C ?sin A -2sin B +sin C =2R =2. 答案:215.在△ABC 中,已知a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.解析:依题意,sin C =223,S △ABC =12ab sin C =43,解得b =2 3. 答案:2 316.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.解析:∵b sin C =43×12=23且c =2,∴c <b sin C ,∴此三角形无解. 答案:017.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?解:在△ABC 中,BC =40×12=20,∠ABC =140°-110°=30°, ∠ACB =(180°-140°)+65°=105°, 所以∠A =180°-(30°+105°)=45°, 由正弦定理得AC =BC ·sin ∠ABC sin A=20sin30°sin45°=102(km).即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km. 18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sinC =cos 2A2,求A 、B 及b 、c .解:由sin C 2cos C 2=14,得sin C =12,又C ∈(0,π),所以C =π6或C =5π6.由sin B sin C =cos 2A2,得sin B sin C =12[1-cos(B +C )],即2sin B sin C =1-cos(B +C ),即2sin B sin C +cos(B +C )=1,变形得 cos B cos C +sin B sin C =1,即cos(B -C )=1,所以B =C =π6,B =C =5π6(舍去),A =π-(B +C )=2π3.由正弦定理a sin A =b sin B =csin C,得b =c =a sin Bsin A =23×1232=2.故A =2π3,B =π6,b =c =2.19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.解:(1)∵A 、B 为锐角,sin B =1010,∴cos B =1-sin 2B =31010.又cos 2A =1-2sin 2A =35,∴sin A =55,cos A =255,∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =255×31010-55×1010=22.又0<A +B <π,∴A +B =π4.(2)由(1)知,C =3π4,∴sin C =22.由正弦定理:a sin A =b sin B =csin C得5a =10b =2c ,即a =2b ,c =5b .∵a -b =2-1,∴2b -b =2-1,∴b =1. ∴a =2,c = 5.20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.解:由S =12ab sin C 得,153=12×603×sin C ,∴sin C =12,∴∠C =30°或150°.又sin B =sin C ,故∠B =∠C . 当∠C =30°时,∠B =30°,∠A =120°.又∵ab =603,a sin A =bsin B,∴b =215.当∠C =150°时,∠B =150°(舍去). 故边b 的长为215.余弦定理1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于( )A .6B .2 6C .3 6D .4 6 解析:选A.由余弦定理,得 AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B= 42+62-2×4×6×13=6.2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D .2解析:选B.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos30° =2, ∴c = 2.3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( ) A .60° B .45° C .120° D .150°解析:选D.cos ∠A =b 2+c 2-a 22bc =-3bc 2bc =-32,∵0°<∠A <180°,∴∠A =150°.4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析:选D.由(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,联想到余弦定理,代入得cos B =a 2+c 2-b 22ac =32·1tan B =32·cos B sin B. 显然∠B ≠π2,∴sin B =32.∴∠B =π3或2π3. 5.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A 等于( )A .aB .bC .cD .以上均不对解析:选C.a ·a 2+c 2-b 22ac +b ·b 2+c 2-a 22bc =2c 22c=c . 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度决定解析:选A.设三边长分别为a ,b ,c 且a 2+b 2=c 2.设增加的长度为m ,则c +m >a +m ,c +m >b +m ,又(a +m )2+(b +m )2=a 2+b 2+2(a +b )m +2m 2>c 2+2cm +m 2=(c +m )2,∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为( )A .2B .-2C .4D .-4解析:选A.S △ABC =3=12|AB →|·|AC →|·sin A =12×4×1×sin A , ∴sin A =32,又∵△ABC 为锐角三角形, ∴cos A =12, ∴AB →·AC →=4×1×12=2. 8.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( )A. 3 B .2 3C.3或2 3 D .2解析:选C.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即3=a 2+9-33a , ∴a 2-33a +6=0,解得a =3或2 3.9.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.解析:∵2B =A +C ,A +B +C =π,∴B =π3. 在△ABD 中,AD =AB 2+BD 2-2AB ·BD cos B= 1+4-2×1×2×12= 3. 答案: 310.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数. 解:∵sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,∴a ∶b ∶c =(3-1)∶(3+1)∶10.设a =(3-1)k ,b =(3+1)k ,c =10k (k >0),∴c 边最长,即角C 最大.由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12, 又C ∈(0°,180°),∴C =120°.11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________.解析:S =12ab sin C ,sin C =32,∴C =60°或120°. ∴cos C =±12,又∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C , ∴c 2=21或61,∴c =21或61.答案:21或6112.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________. 解析:由正弦定理a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,设a =2k (k >0),则b =3k ,c =4k ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =?2k ?2+?4k ?2-?3k ?22×2k ×4k =1116, 同理可得:cos A =78,cos C =-14, ∴cos A ∶cos B ∶cos C =14∶11∶(-4).答案:14∶11∶(-4)13.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________. 解析:∵cos C =13,∴sin C =223. 又S △ABC =12ab sin C =43, 即12·b ·32·223=43, ∴b =2 3.答案:2 314.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →的值为________.解析:在△ABC 中,cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=49+25-362×7×5=1935, ∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π-B )=7×5×(-1935) =-19.答案:-19 15.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,则角C =________. 解析:12ab sin C =S =a 2+b 2-c 24=a 2+b 2-c 22ab ·ab 2=12ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴tan C =1,∴C =45°. 答案:45°16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________.解析:设三边长为k -1,k ,k +1(k ≥2,k ∈N ),则⎩⎪⎨⎪⎧k 2+?k -1?2-?k +1?2<0k +k -1>k +1?2<k <4, ∴k =3,故三边长分别为2,3,4,∴最小角的余弦值为32+42-222×3×4=78. 答案:7817.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.解:∵A +B +C =π且2cos(A +B )=1,∴cos(π-C )=12,即cos C =-12. 又∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,∴a +b =23,ab =2.∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=a 2+b 2-2ab (-12) =a 2+b 2+ab =(a +b )2-ab=(23)2-2=10,∴AB =10.18.已知△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数. 解:(1)由题意及正弦定理得AB +BC +AC =2+1,BC +AC =2AB ,两式相减,得AB =1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C =16sin C ,得BC ·AC =13, 由余弦定理得cos C =AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC=?AC +BC ?2-2AC ·BC -AB 22AC ·BC =12, 所以C =60°.19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .(1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π4)的值. 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C =BC sin A, 得AB =sin C sin ABC =2BC =2 5. (2)在△ABC 中,根据余弦定理,得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =255, 于是sin A =1-cos 2A =55. 从而sin 2A =2sin A cos A =45, cos 2A =cos 2 A -sin 2 A =35. 所以sin(2A -π4)=sin 2A cos π4-cos 2A sin π4=210. 20.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.解:由正弦定理,得sin C sin B =c b. 由2cos A sin B =sin C ,有cos A =sin C 2sin B =c 2b. 又根据余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2b =b 2+c 2-a 22bc, 即c 2=b 2+c 2-a 2,所以a =b .又因为(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,所以(a +b )2-c 2=3ab ,所以4b 2-c 2=3b 2,所以b =c ,所以a =b =c ,因此△ABC 为等边三角形.。

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