一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。

1一阶常微分方程组的首次积分1.1首次积分的定义从第三章我们知道，n 阶常微分方程()()()1,,'',',-=n n y y y x f y Λ， （ 1.1）在变换()1'12,,,,n n y y y y y y -===L （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组()()()1112221212,,,,,,,,,,,,,,.n nn n n dy f x y y y dx dy f x y y y dxdy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩L L M M M M L （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。

但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。

然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。

先看几个例子。

例1 求解微分方程组()()22221,1.dxdyy x x y x y x y dt dt=-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()()12222-++-=+y x y x dtdy y dt dx x ，()()()222222112d x y x y x y dt +=-++-。

这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为1222221C e y x y x t=+-+， （ 1.5）1C 为积分常数。

（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。

注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。

因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。

为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。

将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到22y x dtdyx dt dx y+=-， 即()22y x dtdx y dt dy x+-=-， 亦即1arctan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛dtx y d 。

积分得2arctan C t xy=+， （ 1.6）其中2C 为积分常数。

利用首次积分（ 1.5）和（ 1.6）可以确定（ 1.4）的通解。

为此，采用极坐标cos ,sin x r y r θθ==，这样由（ 1.5）和（ 1.6）推得212211,.t e C t C r θ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭或 t C eC r t-=-=-221,11θ.因此我们得到方程组（ 1.4）的通解为 ()teC t C x 2121cos ---=，()teC t C y 2121sin ---=. （ 1.7）例2 求解微分方程组 ()()(),,.duvw dt dvwu dt dwuv dt αβγβγαγαβ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ （ 1.8）其中0αβγ>>>是给定的常数。

解 利用方程组的对称性，可得 0du dv dwu v w dt dt dtαβγ++=, 从而得到首次积分2221u v w C αβγ++=, （ 1.9） 其中积分常数10C ≥。

同样我们有 2220du dv dwu v w dt dt dtαβγ++=, 由此又得另一个首次积分2222222u v w C αβγ++=, （ 1.10）其中积分常数20C ≥。

有了首次积分（ 1.9）和（ 1.10），我们就可以将u 和v 用w 表示，代入原方程组（ 1.8）的第三式，得到dw dt =, （ 1.11）其中常数a ，b 依赖于常数12C C 和，而常数 ()()()()0,0.A B γβγγαγααββαβ--=>=>--注意（ 1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分3t C αβγ--=, （ 1.12） 其中3C 是积分常数。

因为方程组（ 1.8）是三阶的，所以三个首次积分（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）在理论上足以确定它的通解()()()123123123,,,,,,,,,,,.u t C C C v t C C C w t C C C ϕψχ=== 但是由于在式（ 1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。

现在我们考虑一般的n 阶常微分方程()n i iy y y x f dx dy ,,,,21Λ=，()n i Λ,2,1=, （ 1.13） 其中右端函数()n i y y y x f ,,,,21Λ在1+⊂n R D 对()12,,,,n x y y y L 连续，而且对n y y y ,,,21Λ是连续可微的。

定义1设函数()12,,,,n V V x y y y =L 在D 的某个子域G 连续，而且对12,,,,n x y y y L 是连续可微的。

又设()12,,,,n V x y y y L 不为常数，但沿着微分方程（ 1.3）在区域G 的任意积分曲线()()()()1122:,,,n n y y x y y x y y x x J Γ===∈L函数V 取常值；亦即()()()()()()12,,,n V x y x y x y x C x J =∈L 常数，或当12(,,,,)n x y y y ∈ΓL 时，有()12,,,,n V x y y y L =常数， 这里的常数随积分曲线Γ而定，则称()12,,,,n V x y y y L =C （ 1.14）为微分方程（ 1.13）在区域G 的首次积分。

其中C 是一个任意常数，有时也称这里的函数()12,,,,n V x y y y L 为（ 1.13）的首次积分。

例如（ 1.5）和（ 1.6）都是微分方程（ 1.4）在某个区域的首次积分。

这里对区域G 有限制，是要求首次积分（ 1.5）和（ 1.6）必须是单值的连续可微函数。

因此区域G 不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。

同理，式（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）都是方程（ 1.8）的首次积分。

对于高阶微分方程（ 1.1），只要做变换（ 1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。

因此，首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程（ 1.1）。

而其首次积分的一般形式可以写为()()1',,,,n V x y y y C -=L 。

（ 1.15）例如，设二阶微分方程组()222sin 00d xa x a dt+=>为常数，用dxdt乘方程的两端，可得 222sin 0dx d x dx a x dt dt dt+=， 然后积分，得到一个首次积分221cos 2dx a x C dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

一般的，n 阶常微分方程有n 个独立的首次积分，如果求得n 阶常微分方程组的n 个独立的首次积分，则可求n 阶常微分方程组的通解。

1.2首次积分的性质和存在性关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。

定理1设函数()12,,,,n x y y y ΦL 在区域G 是连续可微的，而且它不是常数，则()12,,,,n x y y y C Φ=L （ 1.16） 是微分方程（ 1.13）在区域G 的首次积分的充分必要条件是110n nf f x y y ∂Φ∂Φ∂Φ+++=∂∂∂L （ 1.17） 是关于变量()12,,,,n x y y y G ∈L 的一个恒等式。

这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（ 1.13）首次积分的有效方法。

因为根据首次积分的定义，为了判别函数()12,,,,n V x y y y L 是否是微分方程（ 1.13）在G 的首次积分，我们需要知道（ 1.13）在G 的所有积分曲线。

这在实际上是由困难的。

而定理1避免了这一缺点。

定理2 若已知微分方程（ 1.13）的一个首次积分（ 1.14），则可以把微分方程（ 1.13）降低一阶。

设微分方程组（ 1.13）有n 个首次积分 ()()12,,,,1,2,,i n ix y y y C i n Φ==L L ，（ 1.18） 如果在某个区域G 它们的Jacobi 行列式()()1212,,,0,,,n n D D y y y ΦΦΦ≠L L ， （ 1.19）则称它们在区域G 是相互独立的。

定理3设已知微分方程（ 1.13）的n 个相互独立的首次积分（ 1.18），则可由它们得到（ 1.13）在区域G 的通解()()12,,,,1,2,,i i n y x C C C i n ϕ==L L ， （ 1.20）其中12,,,n C C C L 为n 个任意常数（在允许围），而且上述通解表示了微分方程（ 1.13）在G 的所有解。

关于首次积分的存在性，我们有定理4 设()00001,,,n p x y y G =∈L ，则存在0p 的一个邻域0G G ⊂，使得微分方程（ 1.13）在区域0G 有n 个相互独立的首次积分。

定理5 微分方程（ 1.13）最多只有n 个相互独立的首次积分。

定理6 设（ 1.18）是微分方程（ 1.13）在区域G 的n 个相互独立的首次积分，则在区域G 微分方程（ 1.13）的任何首次积分()12,,,,n V x y y y L =C ，可以用（ 1.18）来表达，亦即()()()1211212,,,,,,,,,,,,,,n n n n V x y y y h x y y y x y y y =ΦΦ⎡⎤⎣⎦L L L L ， 其中[]*,,*h L 是某个连续可微的函数。

为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（ 1.3）改写成对称的形式12121n n dy dy dy dxf f f ===L ， 这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。

更一般地，人们常把上述对称式写成()()()1211221212,,,,,,,,,,n n n n n dy dy dy Y y y y Y y y y Y y y y ==L L L L （ 1.21）并设12,,,n n Y Y Y G R ⊂L 在区域部不同时为零，例如如果设0,n Y ≠ 则（ 1.21）等价于()()()1212,,,1,2,,1,,,i n i n n n Y y y y dy i n dy Y y y y ==-L L L 。