(r)
➢ 处理含间断问题的原则：分段求解
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
例1 含有激波的追赶问题
间断条件
h, q 1 h2
2
dxs dt
1 2
hl2
1 2
hr2
hl hr
1 2
(hl
hr )
初值
t / h0 xs
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 图象
h
t=0
h0
t</h0
t=/h0
通解
g1(x, y,u) k1, g2 (x, y,u) k2
初始曲线限制
F(k1, k2 ) 0
解曲面
F(g1(x, y,u), g2 (x, y,u)) 0
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 例2.3
特征方程 通解 解曲面 由初值 得解
u u 1
x y
( 为常数)
dy , du 1
kc
dx
v
dt
1
(1
NK
Kc)2
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢
dt (c n)l (c n)r 1 nl nr
cl cr
➢ 特征线光滑解
dc k c dx v
c
c0
exp(
k v
x)
(x xs )
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 原因：形成强间断——激波，微分方程失效
问题：补充间断面上的关系
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
3。激波间断关系
q r
t x
l, ql
dxs/dt
r, qr
0
xl
xs
xr
x
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 激波间断关系
➢ 熵条件
dxs ql qr q
dt l r
(l )
dxs dt
满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征
曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。
第三章一阶偏微分方程——特征线法
第三章一阶偏微分方程——特征线法
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 因此，特征线法的求解思路是 ——用特性曲线来编织解曲面
1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线；
ds
ds
ds
s 0: x 0, y , u
第三章一阶偏微分方程——特征线法
解出 消去参变量
xs
y s2 s
2
u s
y x2
u 2 x 1 x
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 以积分常数形式给出的特征线解
特征方程
dy Q(x, y,u) , du R(x, y,u) dx P(x, y,u) dx P(x, y,u)
特征线
dt 1 K
dx v
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ x轴给出的初值的解
s 0 : t 0, x , c f ( ) 0
t (x )
c(x,t) f (x t ),
➢ t 轴给出的边值的解
x t
s 0 : x 0, t , c g() 0
t x , x t
处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。
谢谢
t>/h0
0
t
C
/h0
0
x
S
I
x
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
例2 非线性吸附反应器
v
c x
c t
n t
kc
n
NKc 1 Kc
c(x, 0) 0
c(0, t) c0
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 特征曲线 ➢ 波速
dx
ds
v
dt
ds
1
dn dc
1
NK
(1 Kc)2
dc ds
t
v
c x
rA
(c)
t 0, c f (x)
( x ,0 t )
➢ 初、边值问题（Riemann问题）
c
t
v
c x
rA (c)
t 0, c f (x)
x
0,
c g(t)
(0 x , 0 t )
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 一般的一阶拟线性偏微分方程的问题
P(x, y,u) u Q(x, y,u) u R(x, y,u)
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
§2 非线性波与追赶现象
1。追赶问题——稀疏波
身高曲线 初始分布
h h h 0 t x
h(x, 0) hh00x /
0
x 0 x
x0
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
特征线 解得
dx h , dh 0
dt
dt
x ht
h0
h
h0
0
0
0
( x )
0 c(x, 0) c0
0
x0 a x 0
x a
第三章一阶偏微分方程——特征线法
特征线 初始曲线 解得
dt 1, dx v, dc 0
ds
ds
ds
s 0: t 0, x
x－vt＝ξ
0
c( ) c0
0
x vt 0 a x vt 0
x vt a
第三章一阶偏微分方程——特征线法
c(x,t) g(t x),
x t
第三章一阶偏微分方程——特征线法
x-t 平面的特征线
第三章一阶偏微分方程——特征线法
斜坡输入时的图象
第三章一阶偏微分方程——特征线法
例3 有化学反应时的色谱波动图象
——浓度沿特征线传播时呈指数衰减
➢ 线性波的特点 波速与因变量无关 保持初始间断和光滑性质不变 特征线不相交
确定
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 解曲面由以下双参变量形式给出
x x(s, ) y y(s, ) u u(s, ) 参变量s 沿特征曲线方向变化，
参变量 沿初始曲线方向变化。
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 例2.1
特征线方程 初始曲线
u
x
u
u y
1
u(0, y) y
dx 1, dy u , du 1
c(0, x) 0
c(x,0) c01
0 t t
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 物理图象：前沿——激波； 后缘——中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 特征线
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 解题思路
1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解； 2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
图象—— 稀疏波
h
t = t1时刻的分布
h0
0
t
t1
1/4h0
1/2h0 3/4h0
h0
x
携带不同h值的特征线
0
x
h t = 0时刻的初始分布
h0
0
x
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
2。追赶问题——激波 ➢ 初始分布：前低后高
解得
0
h(x, 0) h0 (1 x / )
(1
)
dxs v 1 Kcl
➢ 稀疏波（给出激波浓度）
联立得到
t
1
NK
(1 Kc)2
x v
d dxs
(t
xs
/
v
)
NK (t
xs
xs / /v
v
)
2
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 激波轨迹
(t xs / v )1/2 ( NKxs / v)1/2 (t0 x0 / v )1/2 ( NKx0 / v)1/2 ( Kc1)1/2
将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹
vt
xs
NKv k
ln[exp(kxs / v) 1 Kc0
Kc0
]
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 图象
c
t=t1
0
x
t
S
0
x
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
§3 化学剂段塞的色谱运动
➢ 问题
v c c n 0
x t t
n NKc 1 Kc
v
dt 1 nl / cl
t
(1
NK
1 Kc1
) xs
/
v
(xs x0 , t t0 )
➢ 稀疏波 ➢ 平台区
t
1
NK
(1 Kc)2
x v
c c1,
0
t
1
NK
(1 Kc1)2
x v
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
2。运动后期
➢ 激波（浓度在变化）
dt 1 NK
➢ 偏微分方程与常微分方程求解思路的不同
常微分方程：求方程通解，初、边值定常数 一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数 二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解
例，一阶PDE 通解
u c u 0 x y
u f (y cx)
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 初值问题（Cauchy问题）
c
化工问题的建模
与数学分析方法
—— Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering
第三章 一阶偏微分方程
1、特征线法 2、非线性波与追赶现象