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（3）奇偶排列及其性质
奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列 称奇（偶）排列。 例：确定奇偶排列；幻灯片 32 对换：某两数位置互换称排列的一次对换。
定理１.１：任意一个排列经过一次对换奇偶性改变。
ij ji 证明:(1)相邻情形 逆序数增加或减少1,都改变奇偶性; (2)一般情形
故方程组的解为：
x 2 y 10 2x y 5
x
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D1
D
4,y
D2
D
3
10
（二）三阶行列式及其对角线法则
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 （1） a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
6
当D 0时，方程组（）的解记为： 1 x1 D1 D , x2 D2 D
注:即克莱姆法则 n 2 时的情形。
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2、二阶行列式计算方法：（对角线法则）
（1）D
a11a22 a12 a21 a11 a21 a12 a22
“ +” 号 （主对角线）
取
a12 a22 a32
b1 b2 b3
D2 a21 b2 a31 b3
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记：
D a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
前言
线性代数的理论和方法已成为科学研究及处理各个 领域问题的强有力工具．（线性：主要指有关变量是一
次的。）
考研数学试卷中比例已占：２２％
AX B a11 a21 其中A am1
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a12 a22 am1
amn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a1n am1 x1 am 2 x2 amn xn bm a2 n
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例
32构成一个逆序
21构成一个逆序
A. （123）=0， （132）=1； （ 213）=1， （231）=2； （312）=2， （321）=3。 （14325）=3，（ 15432）=6；go ３４
B. 逆序数计算方法： 由后往前，算大数： （14325）=0+2+1=3 由前往后，算小数： （15342） =0+3+1+1=5
，调整元素的位置，总可以使行标成为自然顺序排列！）
问：正负号如何确定？为此引进“逆序”概念。
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２．排列与逆序
（1）n级（元）排列 （前）n个自然数1、2、3、…… n的 一个有序数列称为一个n级排列。 如32415是一个5级排列;213546是一 个6级排列.
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行列 式引 入图
a11 D a21 a31
a13 a23 a33 a11
a12 a22 a32
b1 a13 a23 a33
a13 a23 a33
a11 D3 a21 a31
x1 的系数列
换为常数列
x2 的系数列 换为常数列
x3 的系数列 换为常数列
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a11 a21 Dn an1
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a12 a22 an 2
a1n a2 n (1) ( j j j ) a1 j a2 j anj j j j
1 2 n 1 2 1 2 n
1.消元法解线性方程组
注意写 法规律！ 消元法

哇！好简洁啊！
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Dx1 D1 Dx2 D2 Dx D 3 3
11
D a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 其中： a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31 D1 b1a22 a33 a12 a23b3 a13b2 a32 b1a23 a32 a12b2 a33 a13 a22b3 D2 a11b2 a33 b1a23a31 a13a21b3 a11a23b3 b1a21a33 a13b2 a31 D3 a11a22b3 a12b2 a31 b1a21a32 a11b2 a32 a12 a21b3 b1a22 a31
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当D 0时，方程组（2）的解为： D3 D1 D2 x1 , x2 ，x3 D D D
注:克莱姆法则 n 3 时情形.
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2.三阶行列式的引入
a11 令D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
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（一）n阶行列式的定义
1.2 n阶行列式
1.观察三阶(二阶)行列式的特点 Go 17 （1） 表示一个数。一般项：取自不同行不同列 的3 元素之积，共3！=6项（二阶：2！=2项）。
（2）各项下标：某一个三级排列（6种） （3）各项符号：三项正三项负．正负号与行标自 然顺序排列时的列标排列顺序有关.（注意：在各项乘积中
“+”号 （主对角线及平行线）
取
“-”号 （副对角线及平行线）
取
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Go 21
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例：解三元线性方程组
2 x1 4 x2 x3 1 3x1 x2 5 x3 0 x x x 2 1 2 3 2 解D 3 1
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4 1 1 5 18 0 1 1
jn对换到j1前的逆序数为 n 1; jn1对换到j1前的逆序数为 n 2, , 依此类推，得到逆序数 为
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1 jn jn 1 j1） （ n(n 1) 2 而 （j1 j2 jn ) s，
对换后，顺序将变逆序 ，逆序将变顺序， 1 故 （jn , jn 1 , , j1） n(n 1) s 2
第一章 行列式 要求: 1.了解行列式的概念，掌握行列式 的性质． 2.会应用行列式的性质和行列式按 行（列）展开定理计算行列式． 3、会用克莱姆法则解线性方程组．
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(一)二阶＼三阶行列式
1.１ 二阶、三阶行列式
1.消元法解线性方程组，引入二行列式
a11 x1 a12 x2 b1 消元法 1（ a21 x1 a22 x2 b2 (a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 b2 a12 (a11a22 a12 a21 ) x2 b2 a11 b1a21
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Dx1 D1 Dx2 D2 a11 D a11a22 a12 a21 a21 b1 D1 b1a22 b2 a12 b2 a11 D2 b2 a11 b1a21 a21
简记为
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பைடு நூலகம்
其中
a12 a22 a12 a22 b1 b2
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Ｃ．逆序数计算例 1. （4123 ） 111 3 2. （263145 ） 11 3 1 0 6 （n(n 1) 321 ） 3.
(n 1) (n 2) 3 2 1 1 n(n 1) 2
有了逆序数及奇偶排列的概念,再来 分析三阶行列式各项的符号与列标排 列的关系.
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D a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 a11 a21 a31
取
a12 a22 a32
n
ann
请：用一阶、二阶和三阶行列式验证
30
请问a11a22a32a43a55是否是五阶行列式中的元素?
例题：计算上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a22 0 a1n a2 n ann
解：根据定义，从每一项元素取自不同行列 入手，可知其值等于主对角线元素之积。 D (1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
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1 4 1 D1 0 1 5 36 2 1 1 2 1 1 D2 3 0 5 18 1 2 1 2 4 1 D3 3 1 0 18
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1
1 2
18
36 x1 2， D 18 18 D2 x2 1， D 18 18 D3 x3 1 D 18 D1
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“-”号 （副对角线）
取
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（2）
x1 的系数列 换为常数列
D
a11
a12
x2 的系数列 换为常数列
a21 a22
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11
b1
a21 b2
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（3）例题：解线性方程组
解：
1 2 D [1 （ 1 ） ] [2 2] 5 0， 2 1 10 2 1 10 D1 20，D2 15 5 1 2 5