高中数学必修2模块综合检测（C ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其左视图是( )2．如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图、左视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．163．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－124．直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0总有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．－3<a <7B ．－6<a <4C ．－7<a <3D ．－21<a <195．若P 为平面α外一点，则下列说法正确的是( ) A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可能作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行D ．过P 可作无数条直线与平面α平行6．连接平面外一点P 和平面α内不共线的三点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1分别在P A ，PB ，PC 的延长线上，A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1与平面α分别交于D ，E ，F ，则D ，E ，F 三点( )A ．成钝角三角形B ．成锐角三角形C ．成直角三角形D ．共线7．在圆x 2＋y 2＝4上与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小的点的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫85，65B ．⎝⎛⎭⎫85，－65C ．⎝⎛⎭⎫－85，65D ．⎝⎛⎭⎫－85，－65 8．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条9．若⊙C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4和⊙C 2：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2相交，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－125，－25 B ．(0,2) C ．⎝⎛⎭⎫－125，－25∪(0,2) D ．⎝⎛⎭⎫－125，2 10．已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 为切点，则|P A |的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 211．设x ＋2y ＝1，x ≥0，y ≥0，则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为( )A ．15，1B ．0,1C ．0，15D ．15，212．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC ＝30°，则此几何体的体积为________．14．P (0，－1)在直线ax ＋y －b ＝0上的射影为Q (1,0)，则ax －y ＋b ＝0关于x ＋y －1＝0对称的直线方程为________．15．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为____________．16．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．(填序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．18．(12分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．19．(12分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)20．(12分)已知圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．21．(12分)已知△ABC 的顶点A 为(3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，角B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．22．(12分)已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．模块综合检测(C ) 答案1．D 2．D3．D [令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12．]4．B [将圆的方程化为(x －a)2＋(y ＋2)2＝16．圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|5．∵直线与圆有两个不同交点，∴d<4，即|4a ＋4|5<4，得－6<a<4，故选B ．]5．D6．D [因为D ，E ，F 都在平面A 1B 1C 1与平面α的交线上．] 7．A [经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4，得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝65或⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝－65.画出图形，可以判断点⎝⎛⎭⎫85，65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝⎛⎭⎫－85，－65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．]8．D[如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条，故选D ．]9．C [圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3． 由两圆相交的条件得3－2<|C 1C 2|<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2．]10．D [圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使|PA|最小，只需|PC|最小，|PC|min ＝|3＋4＋8|32＋42＝3．故|PA|min ＝32－12＝22．] 11．A [x 2＋y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方，由数形结合知，O 到线段AB 的距离的平方为最小值，即d 2＝15，|OB|2＝1为最大值．]12．C [对任意点P(x ，y)能使x ＋y ＋c ≥0成立， 等价于c ≥[－(x ＋y)]max ．设b ＝－(x ＋y)，则y ＝－x －b ．∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b|2≤1，解得，－2－1≤b ≤2－1． ∴c ≥2－1．]13．56πR 3解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V 锥＝13πCD 2·AB ＝13π·⎝⎛⎭⎫32R 2·2R ＝π2R 3， ∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3．14．x －y ＋1＝0 解析 ∵k PQ ·(－a)＝－1，∴a ＝1，Q(1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直，∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身． 15．x 2＋y 2＝4解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，∴|PO|＝2|OA|＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4．16．(2)(3)(4)解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的．17．解 由于过P(3，－2)垂直于切线的直线必定过圆心，故该直线的方程为 x －y －5＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －5＝0，y ＝－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4， 故圆心为(1，－4)，r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．18．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点，∴DM ∥AP ．又∵DM ⊆平面APC ，AP平面APC ，∴DM ∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴DM ⊥PB ．又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB ．又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ． ∵BC 平面PBC ，∴AP ⊥BC ． 又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ．又∵BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC ．19．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h ′＝1 cm ，上底半径为r ＝12cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝⎛⎭⎫1－122＝52(cm )，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为12cm ， ∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ′＋S 底面·h ＝13⎣⎡⎦⎤π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫122×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)． 该几何体的表面积为S 表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r)·l ＋2πRh ＝π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354π(cm 2)． ∴该几何体的体积为1312πcm 3，表面积为9＋354πcm 2．20．解 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ① 将P ，Q 坐标代入①得 ⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④ 据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根． 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48 ⑤ 解由②③⑤组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0．方法二 易求PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径r ＝|CP|＝(a －4)2＋(a ＋1)2 ②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a|，∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，将②式代入得a 2－6a ＋5＝0．所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37，即 (x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37． 21．解 设B(4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，所以B(10,5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1,7)，∵点A ′(1,7)，B(10,5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10， 故BC ：2x ＋9y －65＝0．22．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t2．设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ．∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12．∴直线OC 的方程是y ＝12x ．∴2t ＝12t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．。