第八章 圆锥曲线的方程1、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ）A 、324+B 、13-C 、213+ D 、13+1、D【思路分析】法一：F 2 (c , 0)，M (0 ,3c)依MF 2中点N (2c 3,2c )在双曲线上，得2222b4c 3a 4c -=1即)a c (4c 3a 4c 22222--=1)1e (4e 34e 222--⇒=1.注意到e >1，解得e =3+1.法二：连NF 1，则| NF 1| =3c ，| NF 2| = c. 根据双曲线的第一定义，有| NF 1| - | NF 2| = 2a. 即3c – c = 2a ∴e =ac=3+1. 2．下列命题中假命题是（ ）A ．离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直B ．过点（1，1）且与直线x －2y+3=0垂直的直线方程是2x + y －3=0C ．抛物线y 2= 2x 的焦点到准线的距离为1D ．223x +225y =1的两条准线之间的距离为4252．解答：A ：e = 2，a = b ，渐近线y = ±x 互相垂直，真命题。
B ：设所求直线斜率为k ，则k=－2，由点斜式得方程为2x+y －3＝0 也为真命题C ：焦点F （21，0）准线x = －21d = 1真命题 D ： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2·225c a 2= 假命题，选D 评析：考察圆锥曲线的基本知识，考察熟练程度。
3.双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象限的点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．1351222=-y x B ．1312522=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 3. A 【思路分析】：设),(00y x p ，则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ，∴ 332,635,2300===y x c 【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算4、已知点P 为椭圆1204522=+y x 上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P 到直线01234=+--m y x 的距离不大于3，则实数m 的取值范围是( )A.[-7 ，8]B.[29-，211] C.[2-，2] D.(∞-，7-)∪[8 ，∞+] 4、A 5=c ，设),(00y x P ，则15510-=-⋅+x y x y x x ，12045220=+y x ， ∴ 30-=x , 40-=y，35|12|≤-=m d ，得 87≤≤-m . 5、在ABC ∆中，B(-2 ，0)，C(2 ，0)，A(x ，y )，给出ABC ∆满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边ABC ∆满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：(错一条连线得0分)5、① ② ③ ④(a ) (b ) (c )(d )[ ① → (d ) ，② → (a ) ， ③ → (b )④ → (c ) ]6．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x+2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最不值为 （ ） A ．5B ．4C．5（D ）1156、 C【思路分析】：由于点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，所以过焦点F 到直线x+2y+10=0的距离即是 【命题分析】：考察抛物线的几何性质及距离的转化思想7、已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在双曲线上，且215PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A 、34 B 、23 C 、35D 、2 7、（分析：r PF =1，22r PF =由 215r r = （已知）a r r 2)(21=- a r =⇔22 又a c r -≥2 ∴23232≤⇔≥⇔-≥e c a a c a 故选B 项） 8．动圆C 恒过定点(0，1)并总与y=-1相切，则此动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．y 2=4xB ．x 2=4yC ．y 2=2xD ．x 2=2y8．B [思路分析]：圆心到（0，1）的距离等于到y=-1的距离，则其轨迹为抛物线。
[命题分析]：考查圆的知识及抛物线定义和四种方程形式。
9．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足,1OP PM O F ==λ)0(>λ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．39．C 【思路分析】：由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形，又λ=知OP 平分OM F 1∠，即OMP F 1是菱形，设c OF =1，则c PF =1.又a PF PF 212=-，∴c a PF +=22，由双曲线的第二定义知：122+=+=ec c a e ,且1>e ，∴2=e ，故选C .【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.{10.以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =+||||，则动点P 的轨迹为椭圆；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③到定直线c a x 2-=和定点)0,(c F -的距离之比为)0(>>a c ca的点的轨迹是双曲线的左半支；④方程02722=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；其中真命题的序号为 （写出所有真命题的10.④11．P 分的比是－x ，B 分的比是y ，则p （x,y ）所在的曲线是 （选填直线、抛物线、椭圆、双曲线） 11．解答：将AP 分为x 份，BP 占1份，1x 1BA-=∴y =1x 1- 填双曲线评析：考察定比分点概念与公式。
难点是函数y =1x 1-的图象为双曲线。
12．如图，B 地在A 地正东方向6km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ（曲线）上任一点到A 的距离比到B 的距离远 4km ，现要在曲线PQ 上选一处M ，建一码头， 向BC 两地转运货物，经测算，从M 到B 、M到C 修建公路费用分别是20万元/km 、30万元/km ， 那么修建这条路的总费用最低是12．解答：以AB 为X 轴，AB 的中垂线为Y 轴，建立平面直角坐标系。
则c=3，a=2，b=5 曲线PQ的方程为15y 4x 22=- （x≥2） 点C （4，3） 焦点B 对应的准线l ：x = 34由双曲线第二定义23d |MB |l m =- ∴30|MC|+20|MB|=30（|MC|+d m －l ） ≥30（4－34） =80（万元） 填80（万元）评析：用双曲线第一定义求方程，巧用第二定义将|MB|转化为23d m －l ， A B P· · · M BCP QA求出当且仅当MC ∥AB 时，d m －l +|MC|最短，使这条路造价最低。
13．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是.13．2【思路分析】：x y 42=的准线是1-=x . ∴p 到1-=x 的距离等于P 到焦点F 的距离，故点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到x =1-的距离之和的最小值为2=FA .【命题分析】：考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法. 14．（本小题满分12分）过点)0,2(-P 的直线与又曲线422=-x y 的下半支交于不同的两点A 、B ，（1） 求直线AB 斜率的取值范围；（2） 过点)0,6(M 与AB 中点N 的直线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围。
14． 解：（1）设直线AB 斜率为k ，方程为)2(+=x k y )0(≠k ，代入双曲线方程得084)1(222=-+-k ky y k 其方程两根都为负数∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆0180140)1(32162221221222k k y y k k y y k k k 解之得)22,1(--∈k 5分 (2)设AB 中点),(00y x N ，则1220--=k ky ∴ 1222200--=-=k k k y x 即)12,12(222----k k k k N 则直线MN 的方程为：)6(61212222------=x k k k ky 化简得 3463422---=k kx k k y 7分 即322113462k k k k b -=--=，而3221kk -在)22,1(--上为单调减函数∴3221kk -)61,62(-∈ ∴ ),6()23,(+∞--∞∈ b 12分15．（12分）已知圆A 的圆心为(2，0)，半径为1，双曲线C 的两条渐近线都过原点，且与圆A 相切，双曲线C 的一个顶点A '与点A 关于直线y ＝x 对称． ⑴ 求双曲线C 的方程；⑵ 设直线l 过点A ，斜率为k ，当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标． 15. ⑴ 设双曲线的渐近线为y ＝kx ，则11|2|2=+k k ，解得k ＝±1．即渐近线为y ＝±x ．又点A 关于y ＝x 的对称点A '的坐标为(0，2)，所以，a ＝b ＝2，双曲线的方程为12222=-x y ． …………4分⑵ 直线l ：y ＝k (x －2)，(0＜k ＜1)．依题意设B 点在与l 平行的直线l '上，且l 与l '间的距离为2，设直线l '：y ＝kx ＋m ，则1|2|2++k m k ＝2，即m 2＋22km ＝2 ① …………6分把l '代入双曲线方程得：(k 2－1)x 2＋2mkx ＋m 2－2＝0∵ 0＜k ＜1，∴ k 2－1≠0． ∴ △＝4(m 2＋2k 2－2)＝0，即m 2＋2k 2＝2 ②……8分解①②，得m ＝510，k ＝552． ……10分 此时，x ＝22，y ＝10，所以B (22，10)． …………12分16、（本题满分12分）已知：如图，双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x c ，B 是右焦点，F是左顶点，点A 在x成等比数列，过F 作双曲线C ，在第一，第三象限的渐近线的垂线 ，垂足是p 。