τ o σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )
= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ o σ (α ) + τ o σ ( β )
§6.8 线性空间的同构
τ o σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )
的子空间， （6） 若W是V的子空间，则W在 σ 下的象集 ） 是 的子空间 在
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间， 是的 V ′ 子空间，且 dimW = dim σ (W ). 证： 首先，σ (W ) ⊆ σ (V ) = V ′ 首先，
且 Q 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ ∅
2 所以， 所以， dim C = dim R .
故， V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
证法二： 证法二：构造同构映射 作对应 σ : C → R 2 , σ ( a + bi ) = ( a , b ) . 则 σ 为C到R2的一个同构映射 到 的一个同构映射.
§6.8 线性空间的同构
W ≅ σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).
注意
可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 、两个同构映射的乘积还是同构映射 证： 设 σ：V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射，则乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的1－1对应 对应. 映射， － 对应 任取 α，β ∈ V , k ∈ P , 有
其次， 其次，对 ∀α ′, β ′ ∈ σ (W ) , 有W中的向量 α , β 中的向量 使 σ ( α ) = α ′,σ ( β ) = β ′.
§6.8 线性空间的同构
于是有 α ′ + β ′ = σ ( α ) + σ ( β ) = σ (α + β )
kα ′ = kσ (α ) = σ ( kα ) , ∀k ∈ P
若 dimV1 = dimV2 ,
V1 ≅ P n , V2 ≅ P n 由性质1 由性质 ，有
∴V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
把复数域看成实数域R上的线性空间 上的线性空间， 例2 把复数域看成实数域 上的线性空间，
C ≅ R2 证明： 证明：
证法一： 证法一：证维数相等 首先， x ∈ C , x 可表成 x = a1 + bi , a , b ∈ R 首先，∀ 其次， 其次，若 a1+ bi = 0, 则 a= b = 0. 所以， ， 的一组基， 所以，1，i 为C的一组基， dim C = 2. 的一组基 又， dim R 2 = 2
σ : V → Pn,
α a (a1 , a2 ,L , an )
∀α ∈ V
基下的坐标， 这里(a1 , a2 ,L , an )为 α 在 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 基下的坐标， 就是一个V到 的同构映射， 就是一个 到Pn的同构映射，所以
V ≅ .
§6.8 线性空间的同构
任取 α , β ∈ V , 设
§6.8 线性空间的同构
（4）dimV = dimV ′. ） 证： 中任意一组基. 设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为V 中任意一组基 ）（3） 的一组基. 由（2）（ ）知，σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 为 σ 的一组基 ）（ 所以 dimV ′ = n = dimV .
§6.8 线性空间的同构
的同构映射. （5）σ：V → V ′ 的逆映射 σ −1 为 V ′到V 的同构映射 ） 证： 对应， 首先 σ −1 :V ′ → V 是1－1对应，并且 － 对应
σ o σ − 1 = IV ′ ,
任取 α ′, β ′ ∈ V ′,
σ − 1 o σ = IV ,
I为恒等变换 为恒等变换. 为恒等变换
= (a1 , a2 L , an ) + (b1 , b2 ,L , bn ) = σ (α ) + σ ( β )
σ ( kα ) = ( ka1 , ka2 L , kan )
= k (a1 , a2 L , an ) = kσ (α ),
§6.8 线性空间的同构
∀k ∈ P
二、同构的有关结论
§6.8 线性空间的同构
反过来， 反过来，由 k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ) = 0 可得 σ ( k1α1 + k2α 2 + L + krα r ) = 0. 而 σ 是一一对应，只有 σ (0) = 0. 是一一对应， 所以可得 k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0.
§6.8 线性空间的同构
σ τ τ oσ
σ σ −1
IV
4、数域P上的两个有限维线性空间 V1 ,V2同构 、数域 上的两个有限维线性空间
⇔ dimV1 = dimV2 .
证：
"⇒"
由性质2之 若 V1 ≅ V2 ,由性质 之（4）即得 ）
dimV1 = dimV2 .
§6.8 线性空间的同构
"⇐"
1、数域P上任一 维线性空间都与 n同构 、数域 上任一 维线性空间都与P 同构. 上任一n维线性空间都与 2、设 V ,V ′是数域 上的线性空间， 是V 到V ′ 的同构 、 是数域P上的线性空间 σ 上的线性空间， 映射， 映射，则有 （1） σ ( 0 ) = 0, σ ( −α ) = −σ ( α ) . ） 证： 在同构映射定义的条件 iii) σ ( kα ) = kσ (α ) 中分别取 k = 0与k = −1, 即得
= kτ (σ (α ) ) = kτ o σ (α )
所以，乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的同构映射 的同构映射. 所以，
§6.8 线性空间的同构
注意
同构关系具有 反身性： V ≅ V 反身性： 对称性： 对称性： V ≅ V ′ ⇒ V ′ ≅ V 传递性： 传递性： V ≅ V ′, V ′ ≅ V ′′ ⇒ V ≅ V ′′
结合的结果. 这是同构映射定义中条件 ii) 与 iii)结合的结果 结合的结果
§6.8 线性空间的同构
线性相关（线性无关） （3）V中向量组 α1 ,α 2 ,L ,α r 线性相关（线性无关） ） 中向量组 的充要条件是它们的象 σ (α1 ),σ (α 2 ),L ,σ (α r ) 线性 相关（线性无关） 相关（线性无关）. 证： 因为由 k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0 可得 k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ) = 0
σ
§6.8 线性空间的同构
σ (σ −1 (α ′ + β ′ )) = σ o σ −1 (α ′ + β ′ ) = α ′ + β ′
= σ o σ −1 (α ′ ) + σ o σ −1 ( β ′ ) = σ (σ −1 (α ′ )) + σ (σ −1 ( β ′ ))
= σ (σ −1 (α ′ ) + σ −1 ( β ′ ))
第六章 线性空间
§1 集合·映射 集合· §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 维数· §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义
都是数域P上的线性空间 上的线性空间， 设 V ,V ′ 都是数域 上的线性空间，如果映射
σ：V → V ′ 具有以下性质： 具有以下性质：
（i） σ 为双射 ）
σ （ii） (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ), ）
（iii）σ ( kα ) = kσ ( α ) , ）
∀α , β ∈ V
∀k ∈ P , ∀α ∈ V
的一个同构映射 同构映射（ 则称 σ 是V 到V ′ 的一个同构映射（isomorphism mapping）， ） 同构， 并称线性空间 V 与V ′ 同构，记作 V ≅ V ′.
§6.8 线性空间的同构
为数域P上的 维线性空间， 例1 V为数域 上的 维线性空间，ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为数域 上的n维线性空间 的一组基， 为V的一组基，则V到Pn的一一对应 的一组基 到
α = a1ε 1 + a2ε 2 + L + anε n , β = b1ε 1 + b2ε 2 + L + bnε n
则 σ (α ) = (a1 , a2 L , an ), σ ( β ) = (b1 , b2 ,L , bn ) 从而
σ (α + β ) = (a1 + b1 , a2 + b2 L , an + bn )
σ ( 0 ) = 0, σ ( −α ) = −σ (α )
§6.8 线性空间的同构
（2）σ ( k1α1 + k2α 2 + L + krα r ) ）
= k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ),