dimV dimV .
证 设 dimV n, 1 , 2 ,, n 为V 中任意一组基.
由2，3 知， ( 1 ), ( 2 ),, ( n )为 的一组基.
所以 dimV n dimV .
：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
我们知道，在数域F上的n维线性空间V中取定 一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标: 向量的坐标是F上的n元数组，因此属于 F n ,这样 对于V中每一个向量 ,令 在这组基下的坐标为 (a1 , a2 ,, an ), 则 (a1 , a2 ,, an )与 对应，就得到V 到 一来，取定了V 的一组基 1 , 2 ,, n ,
矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
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( ) (a1 , a2 ,, an ),
这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.
定义
设 V ,V 都是数域F上的线性空间，如果映射
：V V 具有以下性质：
i) 为双射
ii) ( ) ( ) ( ),
iii) k k ,
线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论
的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过 这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的 回顾和延伸。 线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的
抽象化。
本章将给出线性映射和线性变换的概念与性
质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间
的一种关系
§1.5
线性空间的同构
1 2
V1 P , V2 P
n
n
例2、把复数域看成实数域R上的线性空间， 证明： C R 2 证法一：证维数相等
首先， x C , x 可表成 x a1 bi , a , b R
其次，若 a1+ bi= 0, 则 a= b 0. 所以，1，i 为C的一组基， dim C 2. 又， dim R 2 2 所以， dim C dim R2 . 故， V1 V2 .
证 首先 1 :V V 是1－1对应，并且 1 1 IV , IV , I为恒等变换.
任取 , V ,
1

)) 1 ( ) ( (
1 ( ) 1 ( ) ( 1 ( )) ( 1 ( )) ( 1 ( ) 1 ( ))


1
传递性：V V , V V V V
定理2 数域F上的两个有限维线性空间V1 ,V2 同构 dimV1 dimV2 .
证： " " 若 V1 V2 ,由性质2之4）即得 dimV1 dimV2 . " " 若 dimV dimV , 有
k k

所以，乘积 是 V 到V 的同构映射.
同构关系具有：
反身性： V V

IV
对称性： V V V V
是的 V 子空间，且 dim W dim (W ).
证 首先， W V V
且 0= 0 W , W
其次，对 , W , 有W中的向量 , 使 , . 于是有 kห้องสมุดไป่ตู้ k k , k P
证：设 ：V V , : V V 为线性空间的同构 映射，则乘积 是 V 到V 的1－1对应. 任取 ， V , k P , 有

k k k
F n 的一个映射
: V F , (a1 , a2 ,, an )
n
反过来，对于 F n中的任一元素(a1 , a2 ,, an ),
是V中唯一确定的元素，并且:
1a1 2a2 nan
即 也是满射.
因此， 是V到 F n 的一一对应.
由于W为子空间，所以 W , k W . 从而有 W , k W .
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即 W W
故 dimW dim (W ).
两个同构映射的乘积还是同构映射.
k a a k ln a k k ln a k a
所以， 为 R到R 的同构映射. 故 R R.
方法二：作对应 : R R , x e x , x R
易证： 为 R到R 的1－1对应，而且也为同构映射. 事实上， 为 的逆同构映射.
0 0, .
证： 在同构映射定义的条件iii)
k k 中分别取 k 0与k 1,
即得 0 0,
k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ), i 1,2,, r .
反过来，由 k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ) 0 可得 ( k1,1 ,k2 kr r ) 0. 2 因此， 1 , 2 r 线性相关（线性无关） 而 ( 是一一对应，只有 线性相关（线性无关）. 1 ), ( 2 ),, ( r ) (0) 0. 所以可得 k11 k2 2 kr r 0.
, V
k P , V
则称 是V 到V 的一个同构映射，并称线性空间
V 与V 同构，记作 V V .
例1. V为数域F上的n维线性空间， 1 , 2 , , n
为V的一组基，则前面V到 F 的一一对应
n
: V F n [a1 , a2 ,, an ]T
第一章 线性空间与线性映射
1
2 3
线性空间 线性子空间
线性映射与线性变换
线性变换的不变子空间 线性空间的同构
授课预计 (8学时)
4
5
教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变 换 的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念 . 4, 理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质 重点: 难点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；线性映射 及线性变换;不变子空间 基变换与坐标变换;不变子空间
证：作对应 : R R, a ln a , a R 易证 为 R到R 的1－1对应. 且对 a, b R , k R, 有
a b ab ln ab ln a ln b a b
T
V
这里[a1 , a2 ,, an ] 为 在 1 , 2 , , n 基下的坐标
F n 的同构映射，所以 就是一个V到
V Fn
定理1 数域F上任一n维线性空间都与F n 同构.
同构映射的性质
设V ,V 是数域F上的线性空间， 是V 到V 的
同构映射，则有：
证法二：构造同构映射 作对应 : C R 2 , a bi a , b . 则 为C到R2的一个同构映射. 例3、全体正实数R+ 关于加法⊕与数量乘法 ：
a b ab, k a a k
作成实数域R上的线性空间.
把实数域R看成是自身上的线性空间. 证明： R R, 并写出一个同构映射.
是单射，有 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 再由
1 (k ) k 1 ( ), V , k P 同理，有
所以， 1为 V 到V 的同构映射. 若W是V 的子空间，则W 在 下的象集
(W ) { ( ) W }
( k11 k2 2 kr r )
i V , ki F ,
V中向量组1 , 2 ,, r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1 ), ( 2 ),, ( r ) 线性相关（线性无关）. 证 因为由 k11 k2 2 kr r 0 可得 k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ) 0