13
故 W ( ym1m1 yn n ) W ym1(m1 W ) ym2 (m2 W ) yn (n W ),
m1 W , m2 W , , n W 可以表示任 W V /W , 且线性无关，
是V /W的一组基，dimV /W n m.
exp：V3(R)中，W z轴是V的子空间.
( W ) ( W ) ( ) W ,
c( W ) c W .
则V 对于所定义的运算构成域F上的线性
空间，称为V的商空间. 记作V /W.
11
定理18：设V是n维线性空间，W是V的
m维子空间，则dimV /W n m.
证 : 设1, ,m是W的一组基，扩充为V 的基，1, ,m , m1, , n. 若
同理 W , 2 W，使 2
2 （2 ） W.
右 左， 左 右.
10
(2)若 ( W ) ( W ), 则由(1)知
W W W 与已知 W， W 矛盾.
线性空间V上按模W同余关系所得等价类
的集合 V { W V} 是V的商集.
在商集V 中定义加法和数乘如下：
传递性 如 (mod W ) (mod W ) 则 (mod W ).
( ) ( ) W
模 W 同余是线性空间 V 上的一种等价关系 8
定义13：设W是V的子空间， V ,
定义V的子集合 W { W }
称为模W的一个同余类, 而 叫做这个
同余类的一个代表.
例21:
y
W
W
O
V R2, W是过原点的直线 W是平行W的直线.
x
9
模W的同余类的基本性质:
(1) 若 W , 则 W W.
(2) 若 W , 而 W ,
则 ( W ) ( W ) ,
证(1) W W ,使 .
W , 1 W，使 1 1 （ 1） W 左 右；
则 11 22 33 11 22 0 利用（） 取 2 2， 1 1 又3 0, 2 1, 1 0, 1 22 （1，2，3，4） 2.
17
10.已知A
2 1 3
2
1 1 1 3
9115,求R( A)的一组基
2 1
3 2
1 1 1 3
1 1
95
1 0 0 0
1 1
1 0 2
1 0 1
0 00
1 0 0
1 3 0
1 0 4
1 0 2
1 0 1
()
16
1, 2, 3,1是W1 W2的基，dim(W1 W2 ) 4. dimW1 3, dimW2 2
dimW1 W2 dimW1 dimW2 dim(W1 W2 ) 1 令 11 22 33 11 22
1 1 2 5 3 2 1 1 2 5 3 2
1
1 0
2 3 4
1 3 1
6 7 8
4 5 6
3 4 5
r1r2
r1r3
0 0 0
1 2 4
1 1 1
1 2 8
1 2 6
1
2 5
1 1 2 5 3 2 1 1 2 5 3 2
2r2 r3
4r2 r4
0 0 0
1 0 0
1 3 5
1 0 4
(5)两个同构映射的乘积还是同构映射
V3
1 2
V1
1
V2
1 1(1) 2
1 2 (1)
2 1(2 )
பைடு நூலகம் 2(2)
记为 2 1
(1 2 ) 2 (1(1 2 )) 2 (1 2 ) 1 2 (1) (2 ) (k ) 2 (1(k )) 2 (k1( )) k21( ) k ( ).
同构的线性空间有相同的维数. (4)同构映射的逆映射,还是同构映射.
设() , 定义 1( ) . 记 (1) 1, (2 ) 2,
1(1 2 ) 1( (1) (2 )) 1( (1 2 )) 1 2 1(1) 1(2 ) 1(k ) 1(k ( )) 1 (k ) k k 1(5 ).
向量rr坐标rX
(ax,ay,az ) axi ay j az k. 2
exp2:设1，L ,n是Vn(F)的一组基，任 Vn(F)，
： V 11对应 F n
有
n
xii
令
i1
X
xxn1
坐标是唯一
是V到F n的双射
（1 1对应）
且这个映射保持线性运算,
n
设 X , Y. 则( ) ( (xi yi )i )
aa1n1n
在基Eii (i 1,2, , n)下. 1, , n 线性无关 X1, , X n 线性无关7 .
§6 商空间
定义12：设W是V的子空间，如, V ,满足 W , 则称与 模W同余,记作 ( modW )
自反性 (mod W ), V
对称性 如 (mod W ) 则 (mod W )
12
即有l11 l22 lmm km1m1 km2m2 kn n 0,
km1 km2 kn 0.
m1 W , m2 W , , n W线性无关。
又设 W V /W , 由于 V , x11 xm m ym1 m1 yn n
( ym1 m1 yn n ) W . 故 W ( ym1 m1 yn n ) W .
则商空间 V3(R) /W L L // Z轴 ：
14
Z
W
W
k1( W ) k2( W )
O
Y
X
对0xy平面上任两个不共线的向量，， 有 W， W是商空间 V3 (R) /W的基15 .
P98 9
W1 W2 L(1,2 ,3 , 1, 2 , 3 ),
1, 2, 3,1,2,3
km1 ( m1 W ) km2 ( m2 W ) kn (n W ) 0 W ,
(km1m1 km2 m2 kn n ) W 0 W , km1 m1 km2 m2 kn n W ,
设 km1 m1 km2 m2 kn n
l11 l2 2 lm m
4 1
1 3
123
1 0 0 0
1 1 0 0
13 00
这几列是否在R(A)中？是R(A)的基吗？
不在， PA B, B的列不是A的列的线性组合.
18
i 1
(x1 y1, , xn yn )T X Y ( ) ( )
n
定(k理) 17(： kVxni(i )F )k同 X 构 k(于 ).F n.
3
i 1
同构映射的性质：
(1)（0） ， （0） （0 ） 0 （） ( ) （） （ ） （1） 1（） （）.
(2)同构映射保持线性关系不变.
6
V1 F n V2 V1 V2
定理：数域F上两个有限维线性空间V1与V2同构
dimV1 dimV2.
exp 2 : n阶对角阵
exp 1: 次数 n 1的多项式
f ( x) an1xn1 a1x
在基1, x,
Fn [ x ]
a0
, xn1.
a0 an1
A
a11
ann
n
n
( kii ) ki (i )
对任i Vn (F ),ki F
i1
i1
i 1, , n
(3)设1, ,n是V1中向量,则
V2中向量 (1), , (n )线性相(无)关
1, ,n线性相(无)关.
4
proof : 是双射 （） 0仅当 0成立。
(k11 knn ) 0 k11 knn 0 k1(1) kn(n ) 0
第十四讲
线性空间的同构； 商空间
总结讲评
1
§5 线性空间的同构 定义11：设V1与V2是域F上的两个线性空间，
如果存在从V1到V2的双射 , 满足
(1)( ) ( ) ( ), , V1 (2)(k ) k( ), V1, k F 则称是同构映射, 此时称V1与V2是同构的.
exp1: 三维几何空间 R3