贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,3，4，6}，集合B={2,3，5}，则集合A∩(∁U B)为()A. {3}B. {2,5}C. {1,4，6}D. {2,3，5}【答案】C【解析】解：∁U B={1,4，6}；∴A∩(∁U B)={1,4，6}．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查列举法的定义，以及补集和交集的运算．2.直线3x−√3y−1=0的倾斜角是()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】B【解析】解：直线3x−√3y−1=0，即y=√3x−√33故直线的斜率为：√3．设直线的斜率为α，则0≤α<π，且tanα=√3，故α=π3，故选：B．把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小.求出直线的斜率是解题的关键．3.下列说法正确的是()A. 函数f(x)=1x在其定义域上是减函数B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C. 命题“∃x∈R，x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1<0”D. 给定命题p、q，若p∧q是真命题，￢p则是假命题【答案】D【解析】解：A.函数 f ( x)=1x 在其定义域上不具备单调性，故A 错误， B .两个三角形全等，则两个三角形面积相等，即充分性成立，当两个三角形面积相等时，两个三角形不一定全等，即必要性不成立， 即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B 错误，C .命题“∃x ∈R ，x 2+x +1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x +1≤0”，故C 错误，D .给定命题 p 、q ，若 p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题，则￢p 则是假命题正确，故D 正确 故选：D ．A .根据函数f(x)单调性的性质进行判断B .结合充分条件和必要条件的定义进行判断C .根据特称命题的否定是全称命题进行判断D .根据复合命题真假关系进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大．4. 若120∘角的终边上有一点(−4,a)，则a 的值为( )A. −4√3B. ±4√3C. 4 √3D. 2√3【答案】C【解析】解：∵120∘角的终边上有一点(−4,a)，∴tan120∘=−tan60∘=−√3=a−4， ∴a =4√3， 故选：C ．利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得a 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．5. 已知向量a ⃗ =(−1,1), b ⃗ =(2,−3)，则2a ⃗ −b ⃗ 等于( )A. (4,−5)B. (−4,5)C. (0,−1)D. (0,1)【答案】B【解析】解：∵a ⃗ =(−1,1), b⃗ =(2,−3) ∴2a ⃗ −b ⃗ =(−2,2)−(2,−3)=(−4,5) 故选：B ．利用向量的数乘运算法则和向量的减法运算法则求出向量的坐标．利用向量的运算法则求向量的坐标，注意向量的加、减、数乘的运算结果仍为向量，而向量的数量积为实数．6. 若函数f(x)=ax 2+x +a +1在(−2,+∞)上是单调递增函数，则a 取值范围是()A. (−∞,14]B. (0,14] C. [0,14] D. [14,+∞)【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax2+x+a+1，分2种情况讨论：①，当a=0时，f(x)=x+1，在R上为增函数，符合题意；②，当a≠0时，函数f(x)=ax2+x+a+1为二次函数，其对称轴为x=−12a，若函数f(x)=ax2+x+a+1在(−2,+∞)上是单调递增函数，则有{a>0−12a≤−2，解可得0<a≤14；综合可得：a的取值范围为[0,14]；故选：C．根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，f(x)=x+1，分析可得其符合题意，②，当a≠0时，函数f(x)=ax2+x+a+1为二次函数，结合二次函数的性质分析可得a 的取值范围，综合2种情况即可得答案．本题考查二次函数的单调性，注意a的值可能为0，属于基础题．7.如果执行如图的程序框图，那么输出的S=()A. 90B. 110C. 250D. 209【答案】B【解析】解：第一次循环，k=1，S=0+2=2；第二次循环，k=2，S=2+2×2=2+4=6；第三次循环，k=3，S=6+2×3=6+6=12；第四次循环，k=4，S=12+2×4=12+8=20；第五次循环，k=5，S=20+2×5=20+10=30；第六次循环，k=6，S=30+2×6=30+12=42；第七次循环，k=7，S=42+2×7=42+14=56；第八次循环，k=8，S=56+2×8=56+16=72；第九次循环，k=9，S=72+2×9=72+18=90；第十次循环，k=10，S=90+2×10=90+20=110；此时k=10+1=11，不满足循环条件k<11，终止循环输出S=110．故选：B．根据题意，模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题．8.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB. 若l//α，m//α，则l//mC. 若l//α，m⊂α，则l//mD. 若l⊥α，l//m，则m⊥α【答案】D【解析】解：由l，m是两条不同的直线，α是一个平面，知：在A中，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交或l⊂α，故A错误；在B中，若l//α，m//α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l//α，m⊂α，则l与m平行或异面，故C错误；在D中，若l⊥α，l//m，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选：D．在A中，l与α相交或l⊂α；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，l与m平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题．9.如表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃18131040杯数2434395162若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是()A. y=x+6B. y=−x+42C. y=−2x+60D. y=−3x+78【答案】C【解析】解：五日的气温的平均值为9，杯数的平均值为42，根据线性回归方程的定义可知，当x=9时，y=42，代入验证可知C正确，故选：C．根据线线回归直线方程过(x−,y−)，求出代入验证即可．考查了线性回归直线的概念和求法，掌握回归直线方程的求法．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A. 83B. 8C. 43D. 4【答案】A【解析】解：几何体为三棱锥，直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD，是正方体的一部分，棱长为：2，棱锥的体积V=13×2×2×2=83．故选：A．作出几何体的直观图，得出外接球的半径，代入体积公式计算得出答案．本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，体积公式，属于中档题．11.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30∘，则C的离心率为()A. √66B. 13C. 12D. √33【答案】D【解析】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30∘，∴|PF1|=2x，|F1F2|=√3x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=√3x，∴C的离心率为：e=2c2a =√33．故选：D．设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=lnx+x2f′(1)，则f′(1)=()A. −1B. eC. −eD. 1【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=lnx +x 2f′(1)， 则f′(x)=1x +2xf′(1)，令x =1可得：f′(1)=1+2f′(1)， 解可得：f′(1)=−1， 故选：A ．根据题意，求出函数的导数，f′(x)=1x +2xf′(1)，令x =1可得：f′(1)=1+2f′(1)，解可得f′(1)的值，即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设{a n }是等差数列，a 1=2且a 3+a 6=8，则a 8=______． 【答案】6【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 1=2且a 3+a 6=8， 得2a 1+7d =8，即7d =8−2a 1=4，d =47． ∴a 8=a 1+7d =2+7×47=6．故答案为：6．由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求得a 8． 本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．14. 已知实数x ，y 满足{y ≤2xx +y ≥1x −y ≤1，则目标函数z =2y −x 的最小值为______．【答案】−1【解析】解：由约束条件{y ≤2xx +y ≥1x −y ≤1作出可行域如图，A(1,0)，化z =2y −x 为y =x2+z2，由图可知，当直线y =x2+z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知圆C：(x−4)2+(y+2)2=5.由直线y=x+2上离圆心最近的点M向圆C引切线，切点为N，则线段MN的长为______．【答案】3√3【解析】解：根据题意，圆C：(x−4)2+(y+2)2=5的圆心为(4,2)，半径r=√5，在直线y=x+2上离圆心最近的点M为圆心在直线y=x+2的射影，最小距离为圆心C到直线的距离，且其最小距离d=√1+1=4√2，则线段MN的长为√32−5=√27=3√3；故答案为：3√3．根据题意，分析圆C的圆心与半径，分析可得在直线y=x+2上离圆心最近的点M为圆心在直线y=x+2的射影，最小距离为圆心C到直线的距离，由点到直线的距离公式求出d的值，由切线长公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题．16.已知直线l的方程为x−y+2=0，抛物线为y2=2x，若点P是抛物线上任一点，则点P到直线l的最短距离是______．【答案】3√24【解析】解：设P(y022,y0)是抛物线上任意一点，则点P到直线l：x−y+2=0的距离：d=|y022−y+2|√2=122√2，当y0=1时，点P到直线l的最短距离：d min=2√2=3√24．∴点P到直线l的最短距离为3√24．故答案为：3√24．设P(y022,y0)是抛物线上任意一点，则点P到直线l：x−y+2=0的距离：d=|y022−y+2|√2=1 202√2，由此能求出点P到直线l的最短距离．本题考查抛物线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查抛物线性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．【答案】解：(Ⅰ)设{a n}的公比为q，由a1=2，a4=16得：16=2q3，解得q=2，又a1=2，所以a n=a1q n−1=2⋅2n−1=2n；(Ⅱ)由(I)得a3=8，a5=32，则b4=8，b16=32，设{b n}的公差为d，则有{b1+15d=32b1+3d=8，解得b1=d=2，则数列{b n}的前n项和S n=2n+12n(n−1)⋅2=n2+n．【解析】(Ⅰ)设{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式，可得公比q，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+√3csinB．(1)求B；(2)若b=1，求△ABC面积的最大值．【答案】解：(1)由已知a=bcosC+√3csinB及正弦定理得：sinA=sinBcosC+√3sinCsinB.①又A=π−(B+C)，故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得：√3sinB=cosB,tanB=√33，又B∈(0,π)，所以B=π6．(2)△ABC的面积S=12acsinB=14ac，由已知及余弦定理得1=a2+c2−2accosπ6=a2+c2−√3ac，又a2+c2≥2ac，故ac≤2−√3=2+√3，当且仅当a=c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2+√34．【解析】(1)由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得tanB的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(2)由已知及余弦定理，基本不等式可求ac≤2−√3=2+√3，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15内部的概率．【答案】解：(1)将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件：(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)∴两点数之和为5的概率P(A)=436=19；(2)点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件：(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)，∴点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率P(C)=836=29．【解析】(1)列举可得共有36个等可能基本事件，“两数之和为5”含有4个基本事件，由概率公式可得；(2)点(x,y)在圆x2+y2=15的内部包含8个事件，由概率公式可得．本题考查列举法计算基本事件数以及事件发生的概率，属基础题．20.如图所示，正四棱椎P−ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为2√2，E为PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)若F为PA上的一点，且PFFA=3，求三棱椎A−BDF的体积．【答案】(1)证明：设BD交AC于O，连接OE，则在三角形BDP中，O、E分别为BD、PD的中点，∴OE//PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB//平面AEC；(2)解：由已知可得，PO=√PD2−OD2=√6．又PO⊥平面ABCD，且PFFA=3，∴F到平面ABD的距离为14PO．∴V A−BDF=V F−ABD=13×S△ABD×(14PO)=13×12×2×2×14×√6=√66．【解析】(1)设BD交AC于O，连接OE，由三角形中位线定理可得OE//PB，再由线面平行的判定可得PB//平面AEC；(2)求出PO，结合已知可得F到平面ABD的距离为14PO，然后利用等积法求三棱椎A−BDF的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．21.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点(1,32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为12√27，求直线l的方程．11 【答案】解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由|F 1F 2|=2得c =1，∴F 1(−1,0)，F 2(1,0)，又点(1,32)在椭圆C 上，∴2a =√(1+1)2+(32)2+√(1−1)2+(32)2=4，a =2.则b 2=a 2−c 2=4−1=3． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1； (2)如图，设直线l 的方程为x =ty −1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把x =ty −1代入x 24+y 23=1，得：(3t 2+4)y 2−6ty −9=0 ∴{y 1+y 2=6t 3t 2+4y 1y 2=−93t 2+4， ∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(6t 3t 2+4)2−4×−9(3t 2+4)=12√t 2+13t 2+4， ∴S =12|F 1F 2||y 1−y 2|=12√t 2+13t 2+4=12√27，∴t 2=1，解得：t 2=−1718(舍)或t 2=1，t =±1．故所求直线方程为：x ±y +1=0． 【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点(1,32)在椭圆C 上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C 的方程；(2)为避免讨论可设过F 1的直线l 的方程为x =ty −1，和椭圆方程联立后化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF 2B 的面积就是12|F 1F 2||y 1−y 2|=12√27，由此求出t 的值，则直线l 的方程可求．本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l 的方程设为x =ty −1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．22. 已知函数f(x)=x 3−3x 2−9x +1(x ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)若f(x)−2a +1≥0对∀x ∈[−2,4]恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−6x −9，令f′(x)>0，解得：x <−1或x >3，令f′(x)<0，解得：−1<x <3，故函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)，单调减区间为(−1,3)；(2)由(1)知f(x)在[−2,−1]上单调递增，在[−1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，又f(−2)=−1，f(3)=−26，f(3)<f(−2)，∴f(x)min=−26，∵f(x)−2a+1≥0对∀x∈[−2,4]恒成立，∴f(x)min≥2a−1，即2a−1≤−26，∴a≤−25．2【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出端点值和极值，从而求出f(x)的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．第!异常的公式结尾页，共12页12。