导函数，简称导数。
函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念， f '(x0 ) 是常数，是函数 f '(x) 在 x x0 处的函数值，反
映函数 f (x) 在 x x0 附近的变化情况。
要点诠释：
函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念， f '(x0 ) 是常数，是函数 f '(x) 在 x x0 处的函数值，反
要点诠释：
①若曲线 y f (x) 在点 P(x0, f (x0 )) 处的导数不存在，但有切线，则切线与 x 轴垂直。 ② f '(x0 ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为锐角； f '(x0 ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为钝角； f '(x0 ) 0 ， 切线与 x 轴平行。
(3)曲线的切线方程
要点诠释：
①增量 x 可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数：
如果函数 y f (x) 在开区间 (a,b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x (a,b) ，都对应着一个
确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这个函数 f / (x) 为函数 y f (x) 在开区间内的
x
4
【答案】
（1）
f
'(4)
lim
f (4 x)
f (4)
lim
1 4 x
4 x (1 2) 4
x0
x
x0
x
lim
1 4 x
1 4
(
4 x 2)
以中间变量 u 对自变量 x 的导数 u 'x 。
要点诠释： 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把 中间变量转换成自变量的函数。 【典型例题】 类型一：导数概念的应用
例 1、用导数的定义，求函数 y f (x) 1 在 x=1 处的导数。 x
【解析】∵ y f (1 x) f (1) 1 1 1 x
时，割线
PQ
的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为 ，则当△x→0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。
即： tan = lim y = lim f ( x0 x ) - f ( x0 ) 。
x x0
x0
x
(2)导数的几何意义：
函数 y f (x) 在点 x0 的导数 f '(x0 ) 是曲线 y f (x) 上点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线的斜率。
lim x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
存在，则此极限称为
f
(x)
在点
x0 处的导数，记作
f
'(x0 ) 或
y ' |xx0 ，此时也称 f (x) 在点 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 处可导。
即：
f
'
(x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 ) （或
f
'
(x0 )
lim
x x0
f (x) - f (x0) ） x - x0
如果 y f (x) 在点 x0 可导，则曲线 y f (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为： y f (x0 ) f / (x0 )(x x0 ) 。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1） f (x) C （C 为常数）， f '(x) 0 （2） f (x) xn （n 为有理数）， f '(x) n xn1 （3） f (x) sin x ， f '(x) cos x （4） f (x) cos x ， f '(x) sin x （5） f (x) ex ， f '(x) ex （6） f (x) a x ， f '(x) a x ln a （7） f (x) ln x ， f '(x) 1
导数的概念和运算
【考纲要求】
1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2.掌握常函数 y=C，幂函数 y=xn（n 为有理数），三角函数 y=sinx，y=cosx，指数函数 y=ex，y=ax，对 数函数 y=lnx，y=logax 的导数公式； 3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。 4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。
1 1 x
11 x
1 x (1 1 x) 1 x
x
(1 1 x) 1 x
∴ y
1
x (1 1 x) 1 x
∴ f '(1) lim y 1 。
x0 x
2
举一反三：
【变式】已知函数 y 1 x x
（1）求函数在 x=4 处的导数.
3
（2）求曲线 y 1 x 上一点 P(4, 7) 处的切线方程。
x
2
（8）
f
(x)
log a
x
，
f
'(x)
1 x
log
a
e
考点三：函数四则运算求导法则
设 f (x) ， g(x) 均可导
（1）和差的导数：[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
（2）积的导数：[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g '(x)
【知识网络】
导数的概念和运算
【考点梳理】 考点一：导数的概念： 1．导数的定义：
导数的概念 导数的运算
初等函数的求导公式 导数的运算法则 复合函数求导
对函数 y f (x) ，在点 x x0 处给自变量 x 以增量 x ，函数 y 相应有增量 y f (x0 x) f (x0 ) 。
若极限 lim y x0 x
映函数 f (x) 在 x x0 附近的变化情况。
3．导数几何意义：
1
（1）曲线的切线
曲线上一点 P(x0，y0)及其附近一点 Q(x0+△x,y0+△y)，经过点 P、Q 作曲线的割线 PQ，其倾斜角为
，则有kPQ
=
tan
=
y x
.
当点
Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点
P(x0，y0)，即△x→0
（3）商的导数：[ f (x)]' g(x)
f
'(x) g(x) f (x) g '(x) [ g ( x)] 2
（ g(x) 0 ）
考点四：复合函数的求导法则
y 'x y 'u y 'x 或 f 'x[(x)] f '(u) '(x)
即复合函数 y f [(x)] 对自变量 x 的导数 y 'x ，等于已知函数 y 对中间变量 u (x) 的导数 y 'u ，乘