导数的概念及运算、选择题1.设曲线y= e ax—ln( x + 1)在x = 0处的切线方程为1解析••• y= e ax—ln( X+ 1) , • y，= ae ax—x+1, •••曲线y= e ax—ln( X+ 1)在x = 0处的切线方程为即a= 3.故选D.答案 D2.若f(x) = 2xf' (1) + x2，则 f ‘ (0)等于( )A.2B.0C. —2 D. —4解析••• f ‘ (x) = 2f ‘ (1) + 2x，•令x = 1,得 f ‘(1)= —2,(0) = 2f ‘ (1) = — 4.答案3.(优质试题•西安质测)曲线f(x) = x3—x + 3在点P处的切线平行于直线y =2x —1,则P点的坐标为( )A.(1 , 3)B.( —1,3)C.(1 , 3)和(一1, 3)D.(1 , —3)解析 f ‘(X)= 3x2—1,令 f ' (x) = 2,则3x2—1= 2,解得x = 1 或x =—1, • P(1 , 3)或(一1, 3)，经检验，点(1 , 3), ( —1, 3)均不在直线y = 2x— 1 上,故选C.答案 C4.(优质试题•石家庄调研)已知曲线y= In x的切线过原点，则此切线的斜率为()A.eB. —e 1c.-e 1D.—-e1解析y = In x的定义域为(0,+x)，且y‘= x，设切点为(X o, In X o)，则2x —y + 1= 0,则a=( )A.0B.1C.2D.3•••当x = 0 时，ya— 1.2x—y+ 1 = 0,.・. a— 1 = 2,11y ' |x = x o =—,切线方程为y — In X o=—(x — x 。

)，因为切线过点(0，0)，所以X o X o1-ln xoi 4,解得xp e ，故此切线的斜率为e.答案 C 5.(优质试题•郑州质检)已知y = f(x)是可导函数，如图，直线y = kx + 2是曲线y = f(x)在x = 3处的切线，令g(x) = xf (x)，g ' (x)是g(x)的导函数，则 g ’(3)二(1y =f(x)在X = 3处切线的斜率等于—3，二f ' (3)1§,••• g(x) = xf (X) ,••• g ' (X) = f(x) + xf ' (x) ,.•. g ' (3) = f (3) + 3f ' (3),又由题图可知f(3) = 1,所以g ’ (3) = 1 + 3X 答案 B 、填空题6.(优质试题-天津卷)已知函数f(x) = axIn x , x € (0 ,),其中a 为实数，f ' (x)为f(x)的导函数，若f '⑴=3,则a 的值为 _______________ .( 1、解析 f ‘(X)= a ln x +x • x = a(1 + ln x)，由于 f ‘(1) = a(1 + ln 1) = a ,\ X 丿又f ‘⑴=3,所以a = 3. 答案 37. (优质试题-全国m 卷)已知f(x)为偶函数，当x <0时，f(x) = ln( — x) + 3x ,则曲线y =f (x)在点(1，— 3)处的切线方程是 _________ .A. — 1B.0V-iT+2 a tC.2D.4解析由题图可知曲线 F解析设x> 0，则一x < 0，f( —x) = In x —3x，又 f (x)为偶函数，f (x) = In x—3x，f ' (x) = x-3, f ‘(1) =-2,切线方程为y= —2x- 1.入答案2x+y+ 1 = 08.(优质试题•陕西卷)设曲线y= e x在点(0 , 1)处的切线与曲线y=-(x>0)上x点P处的切线垂直，则P的坐标为 __________ .解析ye x，曲线y = e x在点(0,1)处的切线的斜率k i= e0= 1,设P(m n),1 1 1y = -(x>0)的导数为yFx〉0)，曲线y = -(x>0)在点P处的切线斜率———k2= —m(m>0)，因为两切线垂直，所以kk =- 1,所以m= 1, n= 1,则点P的坐标为(1 , 1).答案(1 , 1)三、解答题19.(优质试题•长沙调研)已知点M是曲线y = 3X3—2X2+3X+ 1上任意一点，曲线在M处的切线为I，求:(1)斜率最小的切线方程；⑵切线I的倾斜角a的取值范围.2 2解(1)yx -4x + 3= (x —2) - 1>- 1,5•••当x = 2 时，y1, y = 3,•斜率最小的切线过点(2, 5］，斜率k =- 1,二切线方程为3—+ 3y —11 = 0.(2)由(1)得k》一1 ,• tan a》一1,r 冗、1?3 n又a € [0 ,n ) , • a € f O, ，冗故a的取值范围为[o, n J U F n，"]10.已知曲线y= 3—3+3(1)求曲线在点P(2 , 4)处的切线方程; ⑵求曲线过点P(2 , 4)的切线方程.解 ⑴••• P(2 , 4)在曲线y = ¥+3上，且y ’= X 2, •••在点P(2 , 4)处的切线的斜率为y Tx =2= 4.•••曲线在点P(2 , 4)处的切线方程为y — 4 = 4(x — 2), 即 4X — y — 4= 0.1 4 . .⑵ 设曲线y = gx 3+3与过点P(2 , 4)的切线相切于点A( X 0,3x 0+3)，则切线的斜率为 y ’ |x =x o = x ；•••切线方程为 y —孕+ 4卜x 0(x — X 0)，即 y = x 0 • X —lx 3+ 3. V 点 P(2 , 4)在切22 3 4 3 2 3 2 2线上，••• 4= 2X 0 — 3X 0+ 3,即卩 X 0— 3X 0 + 4= 0,. X 0 + X 0 — 4X 0+ 4 = 0,3 3• x 0(X 0 + 1) — 4(X 0 + 1)(X 0— 1) = 0,. (X 0 + 1)(X 0— 2)2= 0,解得 X 0=— 1 或 X 0 =2,故所求的切线方程为X — y + 2= 0或4X — y — 4= 0.11.已知f 1(x) = sin X + cos X , f n +1(x)是 f n (x)的导函数，即 f 2(x) = f/ (x), f o (X) = f' 2(X)，…，f n + 1(x) = f n ' (X) , n € N ，则 f 2 017(x)等于()A. — sin X 一 cos x C. — sin x + cos x解析 ••• f 1(x) = sin x + cos X ,f 2(x) = f/ (x) = cos x — sin x , •- f 3(x) = f 2 (x) = — sin x — cos x , ••• f 4(x) = f 3' (x) = — cos x + sin x , f 5(x) = f 4' (x) = sin x + cos x , ••• f n (x)是以4为周期的函数，••• f 2 017(x) = f i (x) = sin x + cos x ,故选 D.答案 D12.已知函数f (X) = g(x) + X 2，曲线y = g(x)在点(1 , g(1))处的切线方程为y=2x +1,贝U 曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线的斜率为( )B.sin X — cos x D.sin x + cos xA.41 B.—4C.21 D. —2解析 f ’(X) = g ' (X) + 2x. Vy = g(x)在点(1 , g(1))处的切线方程为 y = 2x + 1,.・.g' (1) = 2,.・.f' (1) = g' (1) + 2X 1= 2 + 2 = 4, •••曲线y = f(X)在点(1 , f(1))处的切线的斜率为4. 答案 A 13.(优质试题•全国n 卷)若直线y = kX + b 是曲线y = In X + 2的切线，也是 曲线y = ln( X +1)的切线，贝U b= _________ . 解析y = In X + 2的切线为: 1 y =- • x + ln X 1 + 1(设切点横坐标为X 1). X 1y = ln( X + 1)的切线为：y =1 X 2^+1X + ln( X 2 + 1) — 4+1 (设切点横坐标为 X 2).X 1 X 2+ 1，[|n X 1+1= ln( X 2+ 1)— X 2+ 1,X 2 1 1解得 X 1 = 2， X 2= — 2,-•• b = ln X 1+ 1 = 1 — ln 2.答案 1 — In 214.设函数f(x) = ax — b ,曲线y = f(x)在点(2 , f(2))处的切线方程为7x — 4y X—12= 0.(1)求f (X)的解析式;(2)曲线f(X)上任一点处的切线与直线X = 0和直线y = X 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程 7X — 4y — 12= 0 可化为 y = 4X — 3,「 b 11 b 2a-2 = 2,当 X = 2 时，y =-又 f ' (X) = a +了，于是 42xI b 7l a+4= 4,a = 1, 3解得L 故f (X) = X —-l b = 3.x6—X Rx oU 6.故曲线y = f （X ）上任一点处的切线与直线X = 0, y = X 所围成的三角形面积为 定值，且此定值为6.⑵ 设P （X 0, y 。

）为曲线上任一点,由y1 + X 3知曲线在点P （X o , y o ）处的切线方程为y — y o = [i +舟卜―X O ）,即 / 3、 z 3、 6 y — Xo — — 1= 1 + — (x — Xo).令x = 0,得y =——,从而得切线与直线 X = o 的 V X o丿 … s31 X o交点坐标为 o ,— 令y = X ,得y = X = 2X o , 从而得切线与直线y = X 的交点 坐标为(2 X 0, 2X 0). 所以点P （x o , y o ）处的切线与直线X = 0, y = X所围成的三角形的面积为S=g。