Thm 2 （Newton-Leibniz 公式）
设 b
f fC([ax, b])，F为10,,f
f ( x)dx F(b)
的任1一原x函数 ，0,则 0 x 1.
F(a) : F( x) b ．
a
a
Note：Thm 的条件可减弱为： f ( x) 在[a, b] 上可积，
an ，
∴ a1 2a2
nan
lim x0
f (x) x
．同理，1 lim sin x x0 x
.
由 f ( x) sin x f ( x) sin x ( x 0)
x
x
故，由极限局部保序性知， a1 2a2 nan 1
m
n
凹凸性： f x (1 )y f (x) (1 ) f ( y) 关系
法一（等式右端启发） f ( x) a x , x m, y n loga b
法二（等式左端启发） f ( x) ln x, x am , y bn
ln ab ln a ln b 1 m ln a 1 nln b 1 ln am 1 ln bn
且 f ( x) 在[a, b]上存在原函数 F( x)，则
b f ( x)dx F (b) F (a) ． a
2．不定积分的概念及基本积分公式
1) Def. 2 f ( x) 的原函数的全体（或一般表达式）
称为 f ( x) 不定积分，记为
f ( x)dx ．
若 F ( x)为 f ( x) 的原函数，则
② 运算法则
10 f ( x) g( x)dx f ( x)dx g( x)dx ，（可加性）
20 kf ( x)dx k f ( x)dx ， （齐次性）
n
n
ki fi ( x)dx ki fi ( x)dx ．（线性性质）
i 1
i 1
f ( x)dx F( x) C ， 其中 C 为任意常数
2) 不定积分的几何意义
积分常数
y
... ...
... 0
F(x)
.. .. x
f (x)dx F(x) C
――一簇曲线，相互间只差一常数，
3) 基本积分公式
即从一条曲线上下平移而得
3) 基本积分公式
f ( x)dx
在微[a积,b分]上学可基积本定的理函（数第未一必大有定原理函）数，如
Thm 2 （Newton-Leibniz 公式）
设 b
f fC([ax, b])，F为10,,f
f ( x)dx F(b)
的任1一原x函数 ，0,则 0 x 1.
F(a) : F( x) b ．
a
a
Note：Thm 的条件可减弱为： f ( x) 在[a, b] 上可积，
且 f ( x) 在[a, b]上存在原函数 F( x)，则
b f ( x)dx F (b) F (a) ． a
09-10-2 作业讲评10
表扬： A 有进步 徐力达 02-3，吉月婷 胡乔 02-4
吴竞 02-5 范玉斌 徐磊 聂彤 02-6，
27P143 f ( x) a1 sin x a2 sin 2x an sin nx , f ( x) sin x ．
f (0证) ： a1 2a2 nan 1
(sin x) x0
f (0) lim x0
f ( x) f (0) x0

lim
x0
(2) x2 (1 x2 ) dx = x2 (1 x2 ) dx
=
1 x2
dx


1 1 x2
dx
=
1 x
arctan
x
C
．
结果是否正确，唯一的检验方法
求导，看积分结果的导函数是否为被积函数
例 5 (3) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
f ( x) 的原函数的全体
① 不定积分是微分（或导数）的逆运算
10 f ( x)dx f ( x) ， 或 d f ( x)dx f ( x)dx
先不定积分再求导 =本身
20 f ( x)dx f ( x) C ， 或 df ( x) f ( x) C ．
③ 基本积分公式
P161 基本积分表
添上

1 dx arccos x C ， 1 x2

1
1 x2
dx

arc cot
x

C．
例5
(1) ( x 1)2 dx = ( x 2 x 1)dx
x2 4 3 = x2 x C
23
1 2 x2
(1 x2 ) x2
m
n
m
n
30(7) P 144 证： ab 1 am 1 bn （ m, n 1, 1 1 1 ）
mn
mn
凹凸性或单调性 有很 构多 造辅种助构函造数辅是助思函路数
单调性： 将一个字母看出变量，其它字母看出常数，
所构造的函数 求导简单，便于后面的计算
在微[a积,b分]上学可基积本定的理函（数第未一必大有定原理函）数，如
∴ f (0) f (1) M ． 错
在区间内部的最值点处用两次 Lagrange 中值 Thm
区间内部的可导的最值点处，导数为零 （Fermat 引理）
30(7) P 144 证： ab 1 am 1 bn （ m, n 1, 1 1 1 ）
mn
mn
凹凸性或单调性 取有很多1种, 1构造辅 助1 函？数f , x, y
EXE
(4)
1 dx
1 x2
1 1
x2
dx
arcsin
x
C1 ，
或 arccos x C2
28P143 在[0,1] 上 f ( x) M ，且 f ( x) 在 (0,1) 内取到最大值．
证： f (0) f (1) M
f , f 联系，由什么建立 Lagrange 中值 Thm
f (1) f (0) f ( ) f (1) f (0) M ，