南宁二中2020届高三模拟测试题
数学(理)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知实数集R ,集合{}|13A x x =<<，集合|
B x y ⎧==
⎨⎩，则A B =I （ ） A. {}|12x x <≤ B. {}3|1x x << C. {}|23x x <<
D. {}|12x x <<
2.复数2020
20211(),1i z i
i
+=+-(i 是虚数单位)的共轭复数表示的点在（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a >b ，则22a b >”的否命题为“若a ≤b ，则22a b ≤”；③“∃x ∈R ，211x +≥的否定是“2
,11x R x ∀∈+<”；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin sin A B >”的充要条件；其中正确的命题的个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ）
A. 2
B.
2
C. 2+
D.
5.已知函数4
()lg(3)3
x
x f x m =++的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是（ ） A. (-4，+∞)
B. [- 4，+∞)
C. (-∞，-4)
D. (-∞，-4]
6.函数()()()sin 0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫
=+∈><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，如果122,,63
x x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）
A. B. 12
-
C.
12
D.
2
7.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )
A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭
8.已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||(),sin sin AB AB AC AC
OP OA C B
λλ⋅⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r ∈R .则P
点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ） A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心
9.执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A. 1
B.
3
2
C. 12
-
D. 0
10.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）
A.
528
B.
514
C.
29
D.
12
11.已知函数f (x )满足： f (x )=-f (-x )，且当x ∈(-∞，0]时，()()0f x xf x '
+<成立，若
0.60.62211
2(2),ln 2(ln 2),(log )(log ),88
a f
b f
c f =⋅=⋅=⋅则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A. a > b > c
B. c >a >b
C. b >a >c
D. c >b >a
12.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右顶点分别为12A A 、，M 是双曲线上异于12A A 、的任意一
点，直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于,P Q 两点，O 为坐标原点，若,,OP OM OQ 依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.
)
+∞
B. )
+∞
C. (
D. (
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=_____.
14.已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线3
3y x x =-+的极大值点为b ，极小值点为c ，则ad =____ 15.若
1
20
2(),3
x mx dx +=⎰则在25
(3)x x m -+的展开式中，含x 项的系数为___ 16.数列{}n a 满足1111
,,444n n a a a +==-若不等式322121
n n a a a n a a a λ+++++<+L 对任何正整数n 恒成立，则实数λ
最小值为___
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
17.近年来，南宁大力实施“二产补短板、三产强优势、一产显特色”策略，着力发展实体经济，工业取得突飞猛进
发展.逐步形成了以电子信息、机械装备、食品制糖、铝深加工等为主的4大支柱产业.广西洋浦南
华糖业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(,)(1,2,,6)i i x y i =L ，如下表所示，已知
6
6
6
21
11
180,
3050,2716i i i
i i i i y y x y
x =======∑∑∑.
（1）求出q
值；
（2）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y (件)关于试销单价x (元)的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；
（3）用ˆi y
表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(,)i i x y 对应的残差的绝对值ˆ||1i i y
y -≤时，则将销售数据(,)i i x y 称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的数学期望Eξ.
(参考公式：线性回归方程中ˆˆ,b a 的最小二乘估计分别为：12
2
1
ˆˆˆ,)n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑ 18.如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为主题游乐区，四边形区域为BCDE 为休闲游乐区，AB 、BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．120,60,BCD CDE BAE DE ∠=∠=∠==o
o
333BC CD km ==.
（I ）求道路BE 的长度；
的的
（Ⅱ）求道路AB ，AE 长度之和的最大值．
19.如图,已知长方形ABCD 中,2,1AB AD ==,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起,使得平面
ADM ⊥平面ABCM .
(1)求证:AD BM ⊥ .
(2)点E 是线段DB 上的一动点,当二面角E AM D --大小为
3
π
时,试确定点E 的位置. 20.已知A ，B 是x 轴正半轴上两点（A 在B 的左侧），且(0)AB a a =>，过A ，B 作x 轴的垂线，与抛物线2
2(0)y px p =>在第一象限分别交于D ，C 两点.
（Ⅰ）若a p =，点A 与抛物线2
2y px =的焦点重合，求直线CD 的斜率；
（Ⅱ）若O 为坐标原点，记OCD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求1
2
S S 的取值范围. 21.(本小题满分12分)
已知函数()2
2ln f x x ax x =-+（其中a
实数）．
Ⅱ1）求的单调区间；
Ⅱ2）若设
，且
有两个极值点1x 2x ，12x x <，求()()12f x f x -取值范围．（其中
e 为自然对数的底数）．
22.已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的
极坐标方程为ρ= 4cos θ，直线l 的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数). （1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα
=⎧⎨
=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为,4π
Q 为曲线2C
上的动点，
是
求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值.
23.已知函数2
()4f x x ax =-++Ⅱ()|1||1|g x x x =++-Ⅱ
Ⅱ1）当1a =时，求不等式()()
f x
g x ≥解集；
Ⅱ2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1Ⅱ1]，求a 的取值范围．
的。