2015届高考数学一轮总复习 10-2用样本估计总体基础巩固强化一、选择题1．(2013·重庆理，4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：min).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8[答案] C[解析] 由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数16.8＝9＋15＋(10＋y )＋18＋245，可解得y ＝8，故选C.2．(2013·西宁模拟)已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( )A ．±14B ．±12C ．±128D ．无法求解[答案] B[解析] 这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4，又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝(3d )2＋(2d )2＋d 2＋0＋d 2＋(2d )2＋(3d )27＝4d 2＝1，解得d ＝±12.3．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A ．2B ．3[解析] 设x 1，x 2，x 3，x 4的平均值为x －，则 s 2＝14[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋(x 4－x －)2]＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x －2)， ∴4x －2＝16，∴x －＝2，x －＝－2(舍)，∴x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为4，故选C.4．(文)(2013·辽宁理，5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60 [答案] B[解析] 由频率分布直方图知，低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B.(理)(2013·福建理，4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480[解析]由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图．由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64 B．54C．48 D．27[答案] B[解析]前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.∵后五组频数和为62，∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32，故最大频数为0.32×100＝32.∴a＝22＋32＝54，故选B.6．(文)(2013·六安一模)如图是2012年某校举办“激扬青春，勇担责任”演讲比赛上七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数分别为()A.8587 B．8486C．8485 D．8586[答案] C[解析]由茎叶图知，评委为某选手打出的分数分别不79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分和一个最低分后分数分别是84,84,84,86,87，所以中位数为84，平均数为15×(84＋84＋84＋86＋87)＝85.(理)(2013·山东滨州一模)如图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6 D ．85,4[答案] C[解析] 去掉一个最高分93和一个最低分79，所剩数据的平均数x －＝84＋84＋86＋84＋875＝85，方差s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故选C.二、填空题7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试．对200名学生测试所得数据作出频率分布直方图如图所示，若次数在110以上(含110次)为达标，则从图中可以看出高一学生的达标率是________．[答案] 80%[解析] 次数在110以上(含110次)的频率之和为(0.04＋0.03＋0.01)×10＝0.8，则高一学生的达标率为0.8×100%＝80%.8．(文)将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．[答案] 60[解析] 由条件知，2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1×n ＝27，解得n ＝60.(理)容量为100的样本分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下三组的频数成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组频数最大的一组的频率是________．[答案] 0.16或0.12[解析]后三组频数和为100(1－0.79)＝21，设这三组频数依次为a、ap、ap2(a、p∈N*且p>1)，由题意设得，a＋ap＋ap2＝21，∵p>1，∴1＋p＋p2是21的大于3的约数，∴1＋p＋p2＝21或1＋p＋p2＝7，得p＝4或p＝2.当p＝4时，频数最大值为16，频率为0.16；当p＝2时，频数最大值为12，频率为0.12.9．(文)(2013·湖北理，11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中x的值为________．(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．[答案](1)0.0044(2)70[解析]∵50×(0.0024＋0.0036＋0.006＋x＋0.0024＋0.0012)＝1，∴x＝0.0044.用电量在区间[100,250)内的频率为50×(0.0036＋0．006＋0.0044)＝0.7，∴户数为100×0.7＝70(户)．(理)(2013·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与18s之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为，那么成绩在[16,18]的学生人数是________．[答案] 54[解析] 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为6＋31＋3＋7＋6＋3＝920，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×920＝54.三、解答题10．(2012·石家庄市二模)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准，用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超过标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨？并说明理由；(3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数．(同一组中的数据用该区间的中点值代表)[解析] (1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5t.样本中月均用水量不低于2.5t 的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5t.(3)这100位居民的月均用水量的平均数为0．5×(14×0.10＋34×0.20＋54×0.30＋74×0.40＋94×0.60＋114×0.30＋134×0.10)＝1.875(t).能力拓展提升一、选择题11．(文)某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45 [答案] A[解析] 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.(理)某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为( )A ．480B ．440C ．420D ．400[答案] D[解析] 设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q ，第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d ，则由题意知即⎩⎪⎨⎪⎧0.16＋0.16q ＋0.64q 2＋6d ＝1，0.16q 2＋3d ＝0.07. 消去d 得，16q 2＋8q －35＝0.∵q >0，∴q ＝54.∴第三组的频率P ＝0.16q 2＝0.25.设男生总数为x ，则x ×25%＝100，∴x ＝400.12．(2013·山东济南一模)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x －甲，x －乙和中位数y 甲，y 乙进行比较，下面结论正确的是( )A.x －甲>x －乙，y 甲>y 乙B.x －甲<x －乙，y 甲<y 乙 C.x －甲<x －乙，y 甲>y 乙 D.x －甲>x －乙，y 甲<y 乙 [答案] B[解析] 由茎叶图得x －甲＝19＋20＋21＋23＋25＋29＋32＋33＋37＋4110＝28，x －乙＝10＋26＋30＋30＋34＋37＋44＋46＋46＋4710＝35，y 甲＝25＋292＝27，y 乙＝34＋372＝35.5，∴x －甲<x －乙，y 甲<y 乙，故选B. 二、填空题13．(2013·福建莆田模拟)一组数据如茎叶图所示，若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，则剔除的2个数据的积等于________.[答案] 63[解析] 这组数据的平均数x －＝3＋8＋12＋11＋13＋16＋217＝12，由题意，剔除2个数据，平均数不变，且方差最小，则这两个数的和等于24且(x i －x －)2的和最大，所以这两个数为3与21，故剔除的2个数据的积等于3×21＝63.14．(文)(2013·徐州模拟)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人．则n 的值为________．[答案] 100[解析] 由条件知，1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝30n，∴n ＝100.(理)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．[答案] 600[解析] 成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2 故3000名学生中成绩小于60分的学生数为：3000×0.2＝600. 三、解答题15．(2013·东北三校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5μm 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/m 3以下空气质量为一级；在35微克/m 3～75微克/m 3之间空气质量为二级；在75微克/m 3以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)：(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；(3)以这12天的PM2.5日均值来估计2012年的空气质量情况，估计2012年(按366天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级或二级．[解析] (1)空气质量为超标的数据有四个：77,79,84,88， 平均数为x －＝77＋79＋84＋884＝82.方差为s 2＝14×[(77－82)2＋(79－82)2＋(84－82)2＋(88－82)2]＝18.5.(2)空气质量为二级的数据有五个：47,50,53,57,68，任取两个有十种可能结果：{47,50}，{47,53}，{47,57}，{47,68}，{50,53}，{50,57}，{50,68}，{53,57}，{53,68}，{57,68}，两个数据和小于100的结果有一种：{47,50}， 记“两个数据和小于100”为事件A ，则P (A )＝110，即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为110.(3)空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为812＝23， 366×23＝244，所以，2012年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天．16．(文)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 名同学进行调查．下表是这n 名同学的日睡眠时间的频率分布表.(1)求(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a 、b 的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．[解析] (1)由频率分布表可得n ＝60.12＝50.补全数据如下表频率分布直方图如下：(2)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧150(6×4.5＋10×5.5＋a ×6.5＋b ×7.5＋4×8.5)＝6.52，6＋10＋a ＋b ＋4＝50. 解得a ＝15，b ＝15.设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A ， 则P (A )≈15＋450＝0.38答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.(理)某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180min 到330min 之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：(1)求分布表中s 、t (2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？(3)已知第一组的学生中男、女生均为2人，在(2)的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．[解析] (1)s ＝840＝0.2，t ＝1－0.1－s －0.3－0.25＝0.15.(2)设应抽取x 名第一组的学生，则x 4＝2040，得x ＝2.故应抽取2名第一组的学生．(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生． 记第一组中2名男生为a 1，a 2,2名女生为b 1，b 2，按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下： a 1a 2，a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，b 1b 2.其中既有男生又有女生被抽中的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种结果， 所以既有男生又有女生被抽中的概率为P ＝46＝23.考纲要求1．了解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 补充说明1．编制频率分布直方图的步骤如下：①求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差．②决定组距和组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组．组距＝极差组数.③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组；④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表．将样本数据分成若干小组，每个小组内的样本个数称为频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率．频率反映数据在每组所占比例的大小．⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图．2．频率分布折线图(1)把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布折线图实际上越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑的曲线就叫总体密度曲线．3．茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便．4．方差是刻画一组数据离散程度的量，它反映一组数据围绕平均数波动的大小．方差越大，这组数据波动越大，越分散．讨论产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通过方差来体现．计算方差时，要依据所给数据的特点恰当选取公式以简化计算．备选习题1．从某女子跳远运动员的多次测试中，随机抽取20次成绩作为样本，按各次的成绩(单位：cm)分成五组，第一组[490,495)，第二组[495,500)，第三组[500,505)，第四组[505,510)，第五组[510,515]，相应的样本频率分布直方图如图所示．(1)样本落入第三组[500,505)的频数是多少？(2)现从第二组和第五组的所有数据中任意抽取两个，分别记为m、n，求事件“|m－n|≤5”的概率．[解析](1)由频率分布直方图可知，样本落入[500,505)的频率是1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.03)×5＝0.5，所以，样本落入[500,505)的频数是0.5×20＝10.(2)第二组中有0.02×5×20＝2个数据，记为a、b；第五组中有0.03×5×20＝3个数据，记为A、B、C.则{m，n}的所有可能结果为{a，b}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共10种．其中使|m－n|≤5成立的有{a，b}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共4种．所以事件“|m－n|≤5”的概率为P＝410＝25.2．(2013·烟台四校联考)据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0m(精确到0.1m)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到右前5个小组的对应矩形的高分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由． [解析] (1)由题易知，第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14， ∴此次测试的总人数为70.14＝50.∴这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28×1＋0.30×1＋0.14×1)×50＝36.(2)直方图中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．。