习题4以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。

1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布.（a ） 若 ,2,1=t ，证明},2,1),({ =t t X 是宽平稳但不是严平稳， （b ） 设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=•==⎰t Ut tdU Ut Ut E t EX ππππ))cos()(cos(21)sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=•=t U s t s t U s t s t πππ21}])[cos(1])[cos(1{212020•+++--= s t ≠=,021Ut Esin ))(),((2==t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21)(有关与t t t t EX ππ-=.)2sin(8121DX(t)有关，不平稳，与t t tππ-=2. 设},2,1,{ =n X n 是平稳序列，定义 ,2,1},,2,1,{)(==i n X i n 为,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+2121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX)1()1()(2),(),(),(),(),(),(111111)1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，)1(n X 为平稳过程.同理可证， ,,)3()2(n n X X 亦为平稳过程.3.设1)nn k k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数，k=1，....n; 1,...n u u 是（0,2π）上独立均匀分布随机变量。

证明{,0,1,2,...}n x n =是平稳过程。

证明：E n X =1cos()nkk k k a n u σ=-∑，cos()k k E a n u -=201/2cos()k k k a n u du ππ-⎰=201/2sin()|k k a n u ππ-=0D[cos()k k a n u -]=1/2-cos(22)1/2k k E a n u -=cov (cos(),cos(())k k k k a n u a n t u -+-)=cos()k k E a n u -cos((1)k k E a n u +-)=1/2cosk a tcov(cos(),cos())0,()k k l l a n u a n u k l --=≠E n X =0,D(n X )=22)11.2(cos()nnkk k k k k D a n u σσ==-=∑∑.为常数11cov(,)..2.cov[cos(()),cov()]nnn t n k l k k l l K l x x a n t u a n u σσ+===+--∑∑=21.2.1/2.cos()nkk k a t σ=∑只与t 有关，与n 无关。

从而知道{n X .n=0,1,2….}为宽平稳的。

4.设k A k 1,2...n k n =是个实随机变量；W ，k=1,2…n 是n 个实数。

试问k A 与k W 之间应满足这样的条件才能使：21()j =1njwtk k Z t A e-==∑是一个复的平稳过程。

（）Solution:()1k njw t k k Ez k EA e ==⋅=∑常数,要求k EA =()()()11k l nnj t j t k l k l Ez t z t E A A e ωω-==⋅=⋅=∑∑常数要求()0,k l E A A k l=≠5.设{},1,2,...n x n =是一列独立同分布随机变量序列，()1n P x p==，()11,1,2,...n P x p n =-=-=令010,1,2,...nn k s s n ====∑求{},1,2,...n s n =的协方差函数和自相关函数，p 取何值时，此序列为平稳序列？ Solution :()()()()()()2222221,1112112141n n n n Ex p Dx Ex Ex p p p p p p =∂-=-=⋅+-⨯---=--=-()()(211,,1n n m n k k E x x p n m Es Ex p =⎫=∂-≠==∂-⎪⎭∑协方差函数()(),cov ,s n m n R n m n s s ++=()()11,cov ,n m n s k l k l R n m n x x +==⎫+==⎪⎭∑∑()())1...n D x D x ++()41p p =-自相关函数：()()(),,1s s n m n r n m n R n m n Es Es p p ++=++⋅=-()212p - 当p=12时，()()10,,0,12n n n n Ex D x Es D s ====但协方差函数(),s R n m n +=n,n+m 有关，还是不平稳！6.设(){}t X 是一个平稳过程，对每一个R t ∈，()t X /存在，证明对每个给定的t ，()t X 与()t X /不相关，其中()()dtt dX t X =/. Proof. ()m t EX =，()()2σ=t X D . ()()m t t X E =∆+. ()()()tt X t t X t X t ∆-∆+=→∆0/lim，()0/=t EX .()()()()()()()()()[]tt X t t X t X E t X t EX t X t X Cov t ∆-∆+=⋅=→∆0//lim,()()()021********=+===m dtd t EX dt d dt t dX E σ7.设(){}t X 是Gauss 过程，均值为0，协方差函数()Z e R 242-=. 令()()()()1,1-=+=t X t W t X t Z ， （i ） 求()()()t W t Z E 和()()[]2t W t Z E +；（ii ）求()t Z 的密度函数()z f Z 及()()1<t Z P ； （iii ）求()t Z 与()t W 的联合密度()w z f W Z ,,. Solution. （i ）()()()()4411-=-⋅+=e t X t EX t W t EZ . （ii ）()()()()40,0===R t X D t EX . ()()1+=t X t Z ~()22,0N ()()dx e t Z P x ⎰∞-⨯-⨯=<14222211π.（iii ）()()()t W t Z ,~()4224;2;0;2;0-e N ，()442-==e R P ()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⋅----⋅⋅-=---40400240121ex p 4121,24288,w w z e z e e w z f W Z π8.设(){}R t t X ∈,是一个严平稳过程，ξ为只取有限个值的随机变量.证明()(){}R t t X t y ∈-=,ξ仍是一个严平稳过程.Proof. ()()()()()()h t X h t X t X t X n dn -⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅,,,11()()()()()()()n n n y y y y t y t y P t t t F n ,,,,,,,1121,,1⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=p((X(t 1-ε)，…，X(t n -ε)≤（y 1,…，y n ）)=k∑Pk.p((X(t 1- a k ，…X(t n - a k )≤(y 1,…,yn))=k∑Pk.p((X(t 1-h- a k ),…X(t n -h- a k ))≤（y 1，…，y n ）)=p((y(t 1-h),…,y(t n -h))≤(y 1,…，y n ))=F h tn h t --,....,1(y 1，…，y n ）即知{})(t y 为严平稳.9、设{}R t X ∈t (），是一个严平稳过程，构造随机过程Y 如下： Y （t ）=1,）若X （t ）＞1，若X （t ）＞0;-1，若X （t ）≤0证明Y （t ）是一个平稳过程，如果进一步假定{}R t X ∈t (），是均值为0的Gauss 过程（平稳），证明)(τR Y 为2arcsin 0X X τπ（R ()()）证明：P （（Y(t 1),…,Y(t n )）=（a 1，…，a n ））=P(X(t 1)，…，X （t n ）中有的大于0，有的小于等于0) =P (X(t 1+h)，…，X （t n +h ）相应于X(t 1)，…，X （t n ）中的符号不变)=P （（Y(t 1+h),…,Y(t n +h)）=（a 1，…，a n ））即{})(t y 亦为严平稳的.EX(t)=0,E)(2t X =)0(Rx,X(t)≈N(0,)0(Rx)EY(t)=1*P(Y(t)=1)- 1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)＞0)- P(X(t) ≤0)=21- 21=0 )(τRY=EY(t+τ)Y(t)=P(X(t+τ)＞0, X(t)＞0)+P(X(t+τ)≤0, X(t) ≤0)- P(X(t+τ)≤0, X(t)＞0)+ P(X(t+τ)＞0, X(t) ≤0)y x x xyd d R y xy x R R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰⎰∞+∞+)0()2(22ex p 21021222202ρρρπ）（２（１－１－）（）（）（ )0()2(2x x R R =）（记ρ +y x x xd d R y xy x R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰⎰∞-∞-)0()2(22ex p 2102122202ρρρπ）（２（１－１－）（）（ －x y x xd d R y xy x R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰⎰∞-∞+)0()2(22ex p 21021222002ρρρπ）（２（１－１－）（）（ －x y x x d d R y xy x R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰⎰∞+∞-)0()2(22ex p 2102122202ρρρπ）（２（１－１－）（）（ ＝２()θθρρρππrdrd r R R x x .2sin )2(1(21)(0(21exp )2(1)0(21222002⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎰⎰∞））（ －()θθρρρππrdrd r R R x x .2sin )2(1(21)(0(21exp )2(1)0(21222002⎭⎬⎫⎩⎨⎧+---⎰⎰∞））（极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==＝θθρρπθθρρπππd d ⎰⎰+----222022sin )2(1)2(112sin )2(1)2(11令dt t d t 211,arctan ,tan +===θθθθ ＝dt t t dt t t ⎰⎰++---+-20222022)2(21)2(11)2(21)2(11ππρρπρρπ＝202202)2(1)2(arctan 121)2(arctan 1ππρρπρρπ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t ）（ ＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+)2(1)2(arctan 21)2(1)2(arctan 2122ρρππρρππ＝)2(1)2(arctan22ρρπ-＝())2(arcsin 2ρπ注：验证()θθθθ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-arcsin sin 1arctan sin 2． 即可！10.设(){}X t 是一个复值平稳过程，证明：()()()()()22Re 0E X t X t R R ττ+-=-Proof ：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2202Re 0E X t X t E X t X t X t X t EX t X t EX t X t EX t X t EX t X t R R R R R ττττττττττ+-=+-+-=+++-+-+=-+-=-11.设(){}X t 是零均值的平稳Gauss 过程，协方差函数为()R τ，证明：()()'P X t a ⎛⎫⎪≤=Φ ⎪⎝⎭，其中()Φ•为标准正态函数。