习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。

5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

13．设(X 1, X 2, X 3)服从三维正太分布(0,)N B ，其中协方差矩阵为33B σ⨯ld =()，且2112233σσσσ===。

试求222222123[()()()]E X X X σσσ---。

14．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(0,)N σ。

试求 的期望。

15．设X 、Y 是相互独立同分布的(0,1)N 随机变量，讨论22U X Y =+和 的独立性。

16．设X 、Y 是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论U X Y=+和 的独立性。

17．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数分别如下，试求(|)E X Y y =。

（1） （2）18．设X 、Y 是两个相互独立同分布的随机变量，X 服从区间[0, 1]上的均匀分布，Y 服从参数为λ的指数分布。

求（1）X 与X+Y 的联合概率密度函数；（2）D(X|Y=y)。

19．设X n ，n=1，±1，±2，…是一列随机变量，且 ，其中K 是正常数。

试求： （1）当K>1时，X n 几乎肯定收敛于0； （2）当K>2时，X n 均方收敛于0； （3）当K>3时，X n 不均方收敛于0。

20．设,p p n n X a Y b −−→−−→，试证明pn n X Y a b ±−−→±。

习题二1．设X(i = 1, 2, 3,…)是独立随机变量列，且有相同的两点分布 ，令 (0)0Y =， ，试求： 21exp()nn i i Y X ==-∑XV Y=X V X Y=+1,0,0(,)0,xy yex y p x y y--⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他2,0(,)0,x e y xp x y λλ-⎧<<=⎨⎩其他0~1211n K K K n n X nn n -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭111122-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1()n i i Y n X ==∑（1）随机过程{Y(n), n = 0, 1, 2, …}的一个样本函数；（2）P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值； （3）P[Y(n)=k]； （4）均值函数； （5）协方差函数。

2．设()c o s s i nX t A t B t ωω=-，其中A 、B 是相互独立且有相同的2(0,)N σ分布的随机变量，ω是常数，(,)t ∈-∞∞，试求：（1）X(t)的一个样本函数； （2）X(t)的一维概率密度函数； （3）均值函数和协方差函数。

3．设随机过程 。

其中12,,...,n Y Y Y ，12,,...,n Z Z Z 是相互独立的随机变量，且2,~(0,),1,2,...,k k k Y Z N k n σ=。

（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；（2）证明{ X(t)}是正太过程。

4．设{(),0}Wt t ≥是参数2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和相关函数：（1）2()(),0X t W t t =≥； （2） ；（3）12()(),0X t c W c t t -=≥； （4）()()(),01X t W t tW t t =-≤≤。

5．设到达某商店的顾客组成强度为λ的Poisson 流，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，若{(),0}Y t t ≥是购买商品的顾客流，证明{(),0}Y t t ≥是强度为p λ的Poisson 流。

6．在题5中，进一步设{(),0}Z t t ≥是不购买商品的顾客流，试证明{(),0}Y t t ≥与{(),0}Z t t ≥是强度分别为p λ和(1)p λ-的相互独立的Poisson 流。

7．设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 流。

试证明：（1）12{(),0}N N t t +≥是强度为12λλ+的Poisson 流；（2）在1{(),0}N t t ≥的任一到达时间间隔内，2{(),0}N t t ≥恰有k 个时间发生的概率为8．设{(),0}N t t ≥是Poisson 过程，n τ和n T 分别是{(),0}N t t ≥的第n 个时间的到达时间和点间距距离。

试证明：（1）()(),1,2,...n n E nE T n τ==； （2）()(),1,2,...n n D nD T n τ==。

1()(cos sin ),0nk k k k k X t Y t Z t t ωω==+≥∑1()(),0X t tW t t =>121212(),0,1,2,...k k p k λλλλλλ=∙=++9．设某电报局接收的电报数()N t 组成Poisson 流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。

10．设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 过程，令12()()(),0X t N t N t t =-≥，求{(),0}X t t ≥的均值函数与相关函数。

11．设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，T 是服从参数为γ的指数分布的随即变量，且与{()N t }独立，求[0,T]内事件数N 的分布律。

习题三1. 证明Poisson 随机变量序列的均方极限是Poisson 随机变量。

2. 设,1,2,...n X n =，是独立同分布的随机变量序列，均值为μ，方差为1，定义11nn i i Y X n ==∑。

证明lim n n X μ→∞=。

3. 研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

（1）()X t At B =+，其中A 、B 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a 、b ，方差为21s 、22s ；（2）2()X t At Bt C =++，其中A 、B 、C 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a 、b 、c ，方差为21s 、22s 、23s ； （3）{(),0}N t t ≥是Poisson 过程； （4）{(),0}W t t ≥是Wiener 过程.4. 试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。

5. 求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。

（1）()cos()X t t ω=+Θ，其中ω是常数，Θ服从[0,2π]上的均匀分布； （2）1(),0X t tW t t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭, 其中()W t 是参数为1的Wiener 过程； （3）()2(),0X t Wt t =≥，其中()W t 是参数为2s 的Wiener 过程。

6. 均值函数为()5sin x m t t =、相关函数为20.5()(,)3t s x R s t e --=的随机过程输入微分电路，该电路输出随机过程()()Y t X t '=，试求()Y t 的均值函数、相关函数、()X t 与()Y t 的互相关函数。

7. 试求第3题中可积过程的如下积分：01()()t Y t X u du t =⎰，1()()t LtZ t X u du L +=⎰的均值函数和相关函数。

8. 设随机过程3()cos2t X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程0()()TY t X s ds =⎰的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。

9. 设{(),0}W t t ≥是参数为2s 的Wiener 过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。

（1）0()(),0tX t W s ds t =≥⎰；（2）0()(),0tX t sW s ds t =≥⎰；（3）()[()()],0t ltX t W s W t ds t +=-≥⎰。

10. 求一阶线性随机微分方程0()()0,0(0)(0)X t aX t t a X X '+=≥⎧>⎨=⎩的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中0X 是均值为0、方差为2s 的正态随机变量。